投资组合理论

% !TeX root = ../Investment.tex \chapter{投资组合理论}

引子：从分散化直觉到协方差矩阵

分散投资的直觉已是多数投资者熟悉的经验。但在 1952 年之前，它仍主要停留在经验层面：投资者知道“应该分散”，却缺少一个办法来回答“分散到什么程度合适”“分散以后还能降低多少风险”。这一年，芝加哥大学博士生 Harry Markowitz 用一篇约 15 页的论文 Portfolio Selection（《投资组合选择》），把这个直觉变成了协方差矩阵。他说明：决定组合风险的不是单个资产的方差，而是资产两两之间的协方差结构；当资产之间不完全同涨同跌时，分散化才可能降低组合风险。

这一发现重塑了现代金融学。从此，“风险”不再只是模糊的恐惧，而可以表示为协方差矩阵；“分散化”也不再只是经验判断，而成为有数学最优解的优化问题。1959 年 Markowitz 出版同名专著，1990 年与 Sharpe、Miller 共同获得诺贝尔经济学奖；1964 年 Sharpe 在他的基础上提出 CAPM，为系统性风险给出定义；1976 年 Bogle 把“市场组合与被动复制”的工程化思想带到普通投资者面前，推动 Vanguard 的指数化实践。半个多世纪过去，全球 ETF 和中国公募基金市场都已成长为大规模资产管理体系，其底层逻辑都离不开 Markowitz 的均值-方差思想。本章将推导这套数学，并把它放入 A 股、QDII、私募、信托、跨境组合等中国市场的真实场景中。

核心问题

马科维茨投资组合理论，也称现代投资组合理论（MPT），由 Harry Markowitz 在 1952 年提出。它要解决的问题非常具体：面对一组可投资资产，怎样在给定风险下获得最高预期收益，或在给定预期收益下承担最低风险。这个问题看似是在“选择优质资产”，但 Markowitz 的突破在于把重点从单个资产转向资产之间的共同波动。

分散化不是简单地“买得多”。如果所有资产同涨同跌，买 30 只股票仍可能只是买了同一种风险；只有当资产收益之间的相关系数小于 1，组合方差才会低于单个资产风险的加权平均。协方差矩阵正是用来记录这种共同波动结构的工具。它让分散化经验变成了可以计算、优化和检验的模型。

分散化的边界同样清楚：它主要削减非系统性风险，不能消除由整个市场共同因素驱动的系统性风险。这一区分是后续第四章 CAPM 与第五章 APT 的起点。在 Markowitz 框架内，给定资产波动率和权重后，组合方差的削减取决于资产间相关系数 \(\rho_{ij}\) 偏离 \(1\) 的程度；当 \(\rho_{ij}=1\) 时分散化无效，当 \(\rho_{ij}<1\) 时分散化生效，当 \(\rho_{ij}<0\) 时风险削减更明显；只有在 \(\rho_{ij}=-1\) 且权重匹配时，才可能构造零方差组合。

在实际操作中，模型的步骤也很清楚：先估计各资产的预期收益、方差和协方差，再通过权重调整形成不同组合，最后找出同一收益下风险最低、或同一风险下收益最高的组合。这些最优组合连成的曲线，就是有效前沿（也称有效边界）。有效前沿上每个点都代表一组权重，也代表一种风险与收益的取舍。

现实投资还会受到最低持仓比例、资产类别上限、流动性、税收、交易成本和监管规则约束。中国资本市场尤其如此：公募基金的“双 10% 规则”、私募合格投资者门槛、QDII 跨境额度等都会改变组合权重的可行范围。因此，本章的推导并不是为了得到一条理论曲线，而是先说明有效前沿从何而来，再把它放回中国资管制度中，理解模型结论在真实产品里的可用边界。

模型假设

均值-方差模型能够推导出清晰结论，是因为它先做了一组简化假设。理解这些假设，比机械套用公式更重要。

第一，投资者风险厌恶。面对相同预期收益的两个组合，投资者会选择方差较低的一个；面对相同风险的两个组合，会选择预期收益较高的一个。这一假设让“最优组合”有了明确含义：不是单纯追求高收益，而是在收益和风险之间寻找可接受的取舍。

第二，投资者只关心预期收益和方差。预期收益刻画平均回报，方差或标准差刻画收益波动。这个假设极大简化了问题，因此模型被称为“均值-方差分析”。从效用函数看，仅用均值与方差刻画选择，通常需要二次效用函数或资产收益率近似服从正态分布；本章后面采用的 （见上文） 是把这种偏好写成“期望收益减去方差惩罚”的简化表达。

第三，资产收益率近似正态分布。若收益分布对称且没有厚尾，均值和标准差就能描述大部分风险收益特征。但第二章已经说明，真实市场往往存在负偏度和尖峰肥尾，极端损失的概率高于正态模型预测。因此，Markowitz 模型适合建立组合理论的基准，却不能替代尾部风险管理。

第四，模型采用单期决策。投资者只在一个固定期间内选择组合，不处理多期再平衡、未来收入、负债期限和现金流需求。养老金、保险资金和家庭生命周期投资都需要多期模型扩展，Merton（1969）的连续时间组合模型与 Samuelson（1969）的多期模型正是针对这一限制。

第五，模型暂不考虑交易成本、税收、流动性和监管约束。这使得推导更干净，但现实组合必须面对申赎冲击、换手成本、税负、停牌、额度和杠杆上限。本章后续推导先在严格假设下完成，再把模型放回中国资管制度中检验其可行边界。

模型推导

下面从组合收益率和组合方差出发，推导有效前沿、资本市场线和最优完全资产组合。推导的主线只有一条：权重 \(\boldsymbol{\omega}\) 改变了组合收益，也通过协方差矩阵改变了组合风险。

这一节可以按三个层次阅读。第一层是“风险资产内部怎么配”：用权重向量和协方差矩阵写出组合收益与组合方差，并在给定目标收益下寻找最小方差组合。第二层是“无风险资产加入后怎么配”：无风险资产把有效前沿上的曲线选择问题转化为一条从 \(R_f\) 出发的直线选择问题，最高夏普比率的切点组合成为共同风险资产组合。第三层是“不同投资者为什么仍会选择不同组合”：共同风险资产组合相同，但风险厌恶系数 \(A\) 不同，导致每个人在无风险资产和风险组合之间的配比不同。这样读，公式不是孤立的代数操作，而是一条从分散化到资产配置的逻辑链。

投资组合的收益率和标准差

假设市场上有 \(n\) 个风险资产，第 \(i\) 个风险资产的预期收益率为 \(E(R_i)\)，标准差为 \(\sigma_i\)，资产 \(i\) 和 \(j\) 的协方差为 \(\mathrm{Cov}(R_i, R_j)\)。投资者对各资产的投资权重为 \(\omega_i\)，其中 \(\sum_{i=1}^{n}\omega_i = 1\)，即投资组合中所有资产的权重之和为 1。 风险投资组合 \(p\) 的预期收益率 \(E(R_p)\) 是各资产预期收益的加权平均：

\begin{equation}\label{eq:ch03:port_return} E(R_p) = \sum_{i=1}^{n} \omega_i E(R_i) \end{equation} \begin{equation}\label{eq:ch03:port_var} \sigma_p^{2} = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} \omega_i \omega_j \,\mathrm{Cov}(R_i, R_j) = \boldsymbol{\omega}^{\top}\,\boldsymbol{\Sigma}\,\boldsymbol{\omega} \end{equation}

其中 \(\boldsymbol{\omega}=(\omega_1,\ldots,\omega_n)^{\top}\) 为权重向量，\(\boldsymbol{\Sigma}\) 是 \(n\times n\) 协方差矩阵，主对角线元素为 \(\sigma_i^{2}\)，非对角元素为 \(\rho_{ij}\sigma_i\sigma_j\)。收益率是线性的，方差却是二次型；这意味着组合风险不仅取决于“买了什么”，还取决于这些资产之间如何一起波动。式 （见上文） 正是 Markowitz 理论的核心。

最小化方差的目标函数

给定一个目标预期收益率 \(R^{\star}\)，最小方差组合就是在所有达到该收益率的权重中选择方差最低的一组。这个问题可以写成如下优化：

\begin{equation}\label{eq:ch03:min_var} \min_{\boldsymbol{\omega}}\;\sigma_p^{2} = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\omega_i \omega_j \,\mathrm{Cov}(R_i, R_j) \end{equation}

同时需要满足预算约束 \(\sum_i \omega_i = 1\)，以及预期收益率约束 \(\sum_i \omega_i E(R_i)=R^{\star}\)。拉格朗日函数为：

\begin{equation}\label{eq:ch03:lagrangian} \begin{aligned} \mathcal{L}(\boldsymbol{\omega},\lambda_1,\lambda_2) &= \sigma_p^{2} + \lambda_1\!\left(\sum_{i=1}^{n}\omega_i E(R_i) - R^{\star}\right)\\ &\quad + \lambda_2\!\left(\sum_{i=1}^{n}\omega_i - 1\right). \end{aligned} \end{equation}

对每个权重 \(\omega_i\) 以及拉格朗日乘数 \(\lambda_1,\lambda_2\) 求偏导并令其为 \(0\)，即可得到一组线性方程。改变目标收益率并反复求解，就能得到一串最小方差组合；这些组合连成有效前沿。有效前沿的经济含义很直接：在同样收益下没有更低风险的组合，在同样风险下没有更高收益的组合。

为了让读者看清这一线性方程组的结构，下面给出最常用的矩阵闭式解。设预期收益向量为 \(\boldsymbol{\mu}\)，协方差矩阵为 \(\boldsymbol{\Sigma}\)，全 \(1\) 向量为 \(\boldsymbol{1}\)，并定义 \[ A_0=\boldsymbol{1}'\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{1},\qquad B_0=\boldsymbol{1}'\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu},\qquad C_0=\boldsymbol{\mu}'\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu},\qquad D_0=A_0C_0-B_0^2. \] 全局最小方差组合为 \begin{equation}\label{eq:ch03:gmv_closed} \boldsymbol{\omega}_{\mathrm{GMV}} =\frac{\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{1}'\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{1}}, \qquad E(R_{\mathrm{GMV}})=\frac{B_0}{A_0},\qquad \sigma^2_{\mathrm{GMV}}=\frac{1}{A_0}. \end{equation} 给定目标收益 \(R^\star\) 时，有效前沿上的最小方差组合可写为 \begin{equation}\label{eq:ch03:frontier_closed} \boldsymbol{\omega}(R^\star) =\frac{C_0-B_0R^\star}{D_0}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{1} +\frac{A_0R^\star-B_0}{D_0}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu}. \end{equation} 这组公式的直觉是：所有均值--方差有效组合都可以由两个基础组合线性组合而成，一个负责满足“权重加总为 1”，另一个负责提高目标收益。实际教学中，先用数值法理解有效前沿，再用闭式解理解它的几何结构，通常最稳妥。

有效前沿的左端是全局最小方差组合（GMV），代表可行集中风险最低的组合；向右上方移动，预期收益提高，风险也随之增加。位于有效前沿下方或右侧的组合属于无效组合，因为总能找到一个收益不低、风险更低，或风险相同、收益更高的替代方案。

资本市场线

引入无风险资产后，投资者不必只在风险资产有效前沿上选择，还可以把无风险资产与某个风险组合相搭配。一般而言，无风险资产与任一风险组合连成的直线称为资本配置线（Capital Allocation Line, CAL）；当这条线选择的是有效前沿上夏普比率最高的切点组合时，就得到资本市场线（Capital Market Line, CML）。因此，CML 是最优 CAL：它从无风险利率点出发，与有效前沿相切；切点对应的风险组合称为切点组合。为便于和下一章 CAPM 衔接，本书用 \(M\) 表示它，并沿用小写下标 \(m\) 表示切点组合的收益率与标准差；只有在资本市场均衡且投资者具有同质预期时，这个切点组合才可解释为市场组合。

无风险资产收益率为 \(R_f\)，标准差 \(\sigma_f=0\)。若把无风险资产与切点组合 \(M\) 搭配，组合风险只来自 \(M\)，组合收益则是 \(R_f\) 与 \(E(R_m)\) 的加权平均。

在所有风险资产组合中，切点组合 \(M\) 是夏普比率最高的组合。换言之，它是有效前沿上能画出最陡切线的位置。数学上，这个组合可通过最大化夏普比率求得：

\begin{equation}\label{eq:ch03:max_sharpe} \max_{\boldsymbol{\omega}}\;\frac{E(R_p) - R_f}{\sigma_p}\quad\text{s.t.}\;\sum_i \omega_i = 1. \end{equation}

该优化给出切点组合的风险资产权重，其矩阵闭式解见式 （见上文）。此后，投资者只需决定在切点组合和无风险资产之间如何分配，而不必重新选择风险资产组合内部每个资产的比例。

将无风险资产和切点组合搭配起来，可构建完全资产组合 \(c\)。设无风险资产权重为 \(\omega_f\)，切点组合权重为 \(\omega_m\)，且 \(\omega_f+\omega_m=1\)，则：

\begin{equation}\label{eq:ch03:complete_return} E(R_c) = \omega_f R_f + \omega_m E(R_m) \end{equation} \begin{equation}\label{eq:ch03:complete_sd} \sigma_c = \omega_m \sigma_m. \end{equation}

由于无风险资产没有波动，完全资产组合的风险只由切点组合权重决定。消去 \(\omega_m\) 后，得到 CML 方程：

\begin{equation}\label{eq:ch03:cml} E(R_c) = R_f + \frac{E(R_m) - R_f}{\sigma_m}\,\sigma_c. \end{equation}

CML 的斜率 \([E(R_m)-R_f]/\sigma_m\) 就是切点组合的夏普比率。在均衡解释中，它是资本市场提供的“风险价格”，表示每承担一个单位市场风险，市场补偿多少超额收益。直线越陡，市场风险溢价越高。

最优完全资产组合

市场给出同一条 CML，但不同投资者不会选择同一个点。保守投资者停留在靠近无风险资产的位置，激进投资者可能沿 CML 向右移动，甚至借入资金加杠杆持有切点组合。最优点由 CML 与投资者无差异曲线的切点决定。

假设投资者的效用函数为：

\begin{equation}\label{eq:ch03:utility} U = E(R_c) - \tfrac{1}{2}A\sigma_c^{2} \end{equation}

这里，\(A\) 是风险厌恶系数，数值越大，投资者对同一单位波动的惩罚越重。

将 CML 代入效用函数，可把问题化为对组合标准差 \(\sigma_c\) 的一元最大化：

\begin{equation}\label{eq:ch03:utility_along_cml} U = R_f + \frac{E(R_m) - R_f}{\sigma_m}\,\sigma_c - \tfrac{1}{2}A\sigma_c^{2}. \end{equation}

对 \(\sigma_c\) 求导并令其为零，可得到投资者在 CML 上的最优风险水平：

\begin{equation}\label{eq:ch03:opt_sigma} \frac{\mathrm{d}U}{\mathrm{d}\sigma_c} = \frac{E(R_m) - R_f}{\sigma_m} - A\sigma_c = 0 \;\Rightarrow\; \sigma_c^{*} = \frac{E(R_m) - R_f}{A\,\sigma_m},\quad \omega_m^{*} = \frac{\sigma_c^{*}}{\sigma_m} = \frac{E(R_m) - R_f}{A\,\sigma_m^{2}}. \end{equation}

式 （见上文） 给出了风险厌恶系数 \(A\) 与最优风险组合权重 \(\omega_m^{*}\) 的精确关系：风险厌恶越高，风险组合权重越低、无风险权重越高；当 \(\omega_m^{*}>1\) 时，在模型中投资者会通过按无风险利率借入资金来加杠杆持有切点组合。

总结

本节表面上是在推导一组公式，真正建立的是资产配置的基本语言：收益不是单个资产的孤立属性，风险也不是各资产波动率的简单相加；组合风险取决于权重、方差和协方差共同形成的结构。理解这一点后，投资者才会从“买哪只资产”转向“不同资产如何放在一起”。下面六个步骤把本节逻辑串起来：

1. 确定投资组合的预期收益率和风险（方差）；
2. 通过多样化投资，利用资产间的协方差降低风险；
3. 使用拉格朗日乘数法，在给定预期收益率下最小化方差，从而找到最优投资组合；
4. 绘制有效前沿，为投资者提供在风险和收益之间的最佳选择；
5. 引入无风险资产，推导出资本市场线（CML），进而构建包含无风险资产的更优组合；
6. 基于投资者的效用函数，结合 CML，找到效用最大化的点，从而确定无风险资产和切点组合之间的最优权重。

图 （见上文） 把本节推导压缩在二维图中（横轴 \(\sigma\)、纵轴 \(E(R)\)）。按照公式顺序，它可以这样读：

1. 风险资产可行集。 对 \(n\) 个风险资产，任意权重 \(\boldsymbol{\omega}\)（满足 \(\sum_i \omega_i = 1\)）都对应一个组合点 \((\sigma_p, E(R_p))\)，由 （见上文）--（见上文） 计算。所有可行组合的并集是 \(\sigma\)-\(E(R)\) 平面上的一个凸形区域。
2. 有效前沿（图中黑色实线）。 在每一给定的 \(E(R)\) 水平上，求解 （见上文） 的最小方差问题。所有这些最小方差点连成的上半段曲线就是有效前沿。曲线的最左端是全局最小方差组合（GMV），右上方都是高收益、高风险的组合；下半段（图中灰色虚线）是无效组合的镜像。
3. 无风险点 \(R_f\)（图中红色圆点）。 引入无风险资产后，平面上多了一个 \((\,0,\,R_f)\) 的固定点。它是 CML 的“锚”。
4. 资本市场线 CML（图中红色实线）。 从 \(R_f\) 出发画一条直线，使其与有效前沿相切。切点就是切点组合 \(M\)（图中蓝色圆点）；在 CAPM 均衡解释中，它对应市场组合。切线就是 CML，方程由 （见上文） 给出。CML 的斜率 \([E(R_m)-R_f]/\sigma_m\) 等于切点组合的夏普比率，可解释为市场为单位风险支付的“价格”。
5. 无差异曲线（图中灰色曲线族）。 投资者效用函数 （见上文） \(U=E(R_c)-\tfrac{A}{2}\sigma_c^{2}\) 在 \(\sigma\)-\(E(R)\) 平面上对应一族向上凸的等效用曲线，曲线越往左上、效用越高。同一条无差异曲线上所有点对该投资者效用相等；不同条无差异曲线代表不同的效用水平。
6. 最优完全资产组合 \(C^{*}\)（图中绿色方点）。 在投资者预算约束（即必须落在 CML 上）下，使其效用最大的点就是 CML 与最高那条可达无差异曲线的切点。切点处由 （见上文） 直接给出 \(\sigma_C^{*}=(E(R_m)-R_f)/(A\sigma_m)\) 与 \(\omega_m^{*}=\sigma_C^{*}/\sigma_m\)。\(A\) 越大（越厌恶风险），切点越靠左下（更多无风险资产、更少切点组合）；\(A\) 越小（越偏好风险），切点越往 \(M\) 右侧延伸，进入 CML 的“杠杆区”：在模型中，投资者可以通过按无风险利率借入资金买入 \(\omega_m^{*}>1\) 的切点组合，在更高风险下获得更高期望收益。

这就是 Markowitz--Tobin 两步骤的图形化表达：第一步由共同的收益、方差和协方差判断决定，所有投资者共享同一条 CML 与同一个切点组合 \(M\)；第二步由个人偏好决定，投资者根据自己的 \(A\) 在 CML 上选择不同的 \(C^{*}\)。这一“先选共同风险组合，再定个人配比”的结构，正是后面分离特性的基础，也是指数基金和 ETF 能够成立的理论根基。

模型结论

上述推导得到三个直接结论：相关系数决定分散化效果；两基金分离定理把“选风险资产组合”和“决定风险承担比例”分开；被动投资则把切点组合的均衡解释产品化。它们共同解释了为什么现代资产管理既重视协方差矩阵，也重视低成本指数化工具。

这些结论也提示了模型的边界。相关系数告诉我们分散化为何有效，但相关性会在危机中上升；两基金分离定理说明指数化有理论基础，但现实中的“市场组合”只能用可交易指数近似；被动投资降低了选择成本，却不能消除估值过高、跟踪误差、流动性冲击和制度约束。因此，本节既总结模型的力量，也提前埋下后续章节的限制条件：组合理论是资产配置的起点，不是所有投资问题的终点。

相关系数

相关系数取值在 \(-1\) 到 \(1\) 之间，刻画两个资产收益同向或反向变化的程度。\(\rho=1\) 时，两项资产完全同向，组合标准差只是单个标准差的加权平均；\(\rho<1\) 时，组合开始获得分散化收益；\(\rho<0\) 时，一项资产的上涨可能抵消另一项资产的下跌。图 （见上文） 展示了两资产组合在不同相关系数下的可行集，从 \(\rho=1\) 的直线退化情形，到 \(\rho=-1\) 且权重匹配时可能出现的“零方差”端点。

需要特别区分的是：图中 \(\rho=-1\) 曲线的左端点首先表示由两项风险资产合成出来的零方差组合，而不是事先给定的国债或现金收益率。若资产 \(A\) 与 \(B\) 的波动率分别为 \(\sigma_A,\sigma_B\)，零方差权重满足 \[ \omega_A\sigma_A=\omega_B\sigma_B,\qquad \omega_A+\omega_B=1, \] 因此 \(\omega_A=\sigma_B/(\sigma_A+\sigma_B)\)，\(\omega_B=\sigma_A/(\sigma_A+\sigma_B)\)，对应收益为 \(\omega_AE(R_A)+\omega_BE(R_B)\)。在一个无套利市场中，任何同期限、同币种、同信用条件的零方差支付所对应的收益都应当等于无风险利率 \(R_f\)；如果这个合成零方差组合的收益率与 \(R_f\) 不一致，理论上就意味着可以通过借入低收益的无风险资产、买入高收益的零方差组合（或反向操作）获得套利。因此，\(\rho=-1\) 给出的是“可能合成零方差收益”的数学条件，而无套利条件进一步要求这个收益率与市场无风险利率一致。 以图 （见上文） 的参数设定为例，若 \(E(R_A)=6\%\)、\(E(R_B)=12\%\)、\(\sigma_A=18\%\)、\(\sigma_B=30\%\)，则零方差权重为 \(\omega_A=62.5\%\)、\(\omega_B=37.5\%\)，对应收益约为 \(8.25\%\)。这个数值应理解为“由两项完全负相关风险资产合成出来的零方差收益”，并不自动等同于后文资本市场线例子中另行假设的 \(R_f=3\%\)。只有把这些资产和该无风险资产放在同一个无摩擦、无套利市场中时，二者才必须一致。

需要注意，相关性不是常数。市场压力增大、通胀冲击或流动性收缩时，股票和债券可能同步下跌，传统股债组合的分散化效果会减弱。2022 年美国通胀冲击下，股票与长期国债同时大幅下跌，传统股债 60/40 组合出现罕见年度回撤，就是“危机中相关性上升”的典型案例。

因此，现代组合管理会引入大宗商品、私募股权、对冲基金、不动产和基础设施等另类资产。它们的收益驱动因素不同：大宗商品更多受供需和库存影响，不动产依赖租金和资本化率，基础设施资产与长期合同现金流有关。把这些资产纳入组合，目的不是追求“品种更多”，而是让组合拥有更多不同来源的风险溢价。本书第十章会专门展开另类投资的工具与中国市场。

两基金分离定理

两基金分离定理（two-fund separation theorem）是分离特性的正式表述：在存在无风险资产且投资者具有相同预期的市场中，所有投资者都会持有同一个最优风险资产组合，差异只体现在该组合与无风险资产之间的配比。换言之，投资决策可分解为两个步骤：先确定共同的最优风险资产组合，再根据个人风险偏好决定无风险资产与风险资产组合的比例。

第一步是构建切点组合。在模型假设下，所有投资者面对同一组资产收益、方差和协方差，因此都会选出同一个最高夏普比率的风险组合。这一步不涉及个人偏好，只涉及资产本身的风险收益特征；在 CAPM 的均衡解释中，这个共同风险组合进一步对应市场组合。

若用矩阵写法，切点组合的权重为 \begin{equation}\label{eq:ch03:tangency_closed} \boldsymbol{\omega}_M = \frac{\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{\mu}-R_f\boldsymbol{1})} {\boldsymbol{1}'\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{\mu}-R_f\boldsymbol{1})}. \end{equation} 分子衡量每个资产相对于无风险利率的边际补偿，并用协方差矩阵校正风险与相关性；分母则把权重标准化为加总等于 \(1\)。这也是为什么切点组合不只是“收益最高的一篮子资产”，而是单位风险补偿最高的风险组合。

第二步是决定无风险资产与切点组合的配比。风险厌恶程度高的投资者提高无风险资产权重，组合更接近国债或现金；风险承受能力强的投资者提高切点组合权重，甚至借入资金形成 \(\omega_m>1\) 的杠杆组合。

这一结论大幅简化了组合管理：不同投资者的差异不在于共同风险组合内部买哪些股票，而在于持有多少风险组合、多少现金或国债。它也为指数基金和市场组合基金提供了理论支持。投资者不必自行估计完整协方差矩阵，可以用沪深 300 ETF、标普 500 ETF 等工具近似持有市场组合，再按风险偏好调整现金和债券比例。

被动投资

被动投资把分离特性转化为可买卖的产品。它不试图通过选股或择时战胜市场，而是通过复制市场指数获得市场组合的平均回报。若市场组合已经是最高夏普比率的风险组合，那么低成本跟踪市场指数就有了清楚的理论基础。

被动投资的典型方式是指数基金或 ETF，例如标普 500 指数基金、沪深 300 ETF 等。其优势不在于预测更准，而在于费用低、换手少、透明度高，并减少个股选择和市场择时带来的主观误差。1976 年 John Bogle 在 Vanguard 推出面向普通投资者的指数共同基金（First Index Investment Trust）时，曾被同行质疑：为什么有人会自愿接受“平均回报”？但长期数据表明，扣除费用后，多数主动型基金很难持续跑赢市场指数。

被动投资的经济直觉很直接：若投资者很难稳定识别未来赢家，就应优先控制确定能控制的因素，包括费率、换手、税负和跟踪误差。低成本本身就是长期复利的一部分，费用少损耗 1 个百分点，长期财富结果可能相差很大。

中国 ETF 市场起步较晚但发展迅速。华夏上证 50 ETF 于 2004 年成立、2005 年在上交所上市交易，是中国 ETF 市场的重要起点；近年来沪深 300、中证 500、中证 1000 等宽基产品规模持续扩大。据《上交所 ETF 行业发展报告（2026）》披露，截至 2025 年底，境内交易所挂牌上市 ETF 达 1381 只，总规模 6.02 万亿元，其中股票 ETF 规模 3.83 万亿元，是最主要的组成部分。与美国相比，中国 ETF 渗透率仍较低，A 股的“被动化空间”仍然较大。随着被动资金占比提高，市场定价、流动性和风格轮动方式也会随之改变。

图 （见上文） 把股债 60/40、风险平价、等权和全股票组合放在同一张风险收益图中，便于比较“资产权重”和“风险贡献”的差异。

资管法治

Markowitz 模型给了投资者“应当怎样配置资产”的数学答案。但在中国资本市场的真实场景里，这个答案要通过资产管理产品（公募基金、私募基金、信托、银行理财、保险资管）落地，而每一种产品形态都有其独特的法律边界与合规约束。本节把组合理论从公式带入制度，看清“理论最优组合”如何被法律规制重塑为“合规可行组合”。

资管新规

2018 年 4 月，人民银行、原银保监会、证监会、外汇局四部门联合发布《关于规范金融机构资产管理业务的指导意见》（俗称“资管新规”），是中国资管行业的基础性制度文件。新规之前，中国资管行业中较为常见的“刚性兑付”（机构以自有资本兜底产品收益）、“资金池运作”（多产品资金混同管理）、“通道业务”（信托和券商作为通道为银行表外腾挪信贷）等做法，使产品净值不能充分反映底层资产风险。这些做法实质上把“投资者分散化承担风险”扭曲成了“机构隐性承担风险”，削弱了 Markowitz 框架在零售资管中的现实基础。

资管新规的几个核心要求是：第一，打破刚兑，资产管理产品应实行净值化管理，机构不得承诺保本保收益；第二，穿透计量，多层嵌套的产品按底层资产穿透识别，集中度与杠杆按穿透后口径约束；第三，规范非标，区分标准化债权类资产与非标准化债权类资产，非标投资受到期限匹配、限额管理和信息披露约束。新规设置了 2018--2021 年的过渡期，期满后存量产品逐步按新规整改。

资管新规直接改变了组合理论在零售市场中的呈现方式。新规之前，固收类银行理财常以“刚兑和资金池”形成年化 4%--5%、波动近零的“伪低风险”产品；新规后，理财产品按市值计量，波动显性暴露给投资者，“低风险高收益”的幻觉被打破。2022 年 11 月债市调整中，不少银行理财净值跌破 1.0 并引发赎回压力，说明承担市场风险的资产终究会表现出波动；刚兑只是把波动从产品净值转移到机构资产负债表，并没有消灭风险。

公募基金、私募基金与信托的法律边界

中国资产管理行业目前形成了公募、私募、信托、银行理财、保险资管、券商资管等多层结构。按不同统计口径，整体规模已经超过百万亿元级。从法律边界看，几种主要资管工具的特征如下：

公募基金受《证券投资基金法》及《公开募集证券投资基金运作管理办法》（2014 年施行）等规则规范，由证监会注册、面向不特定公众募集。公募基金投资集中度有严格限制，例如一只基金持有一家公司发行证券的市值不得超过基金资产净值的 10%，同一基金管理人管理的全部基金持有一家公司发行的证券不得超过该证券的 10%，通常称为“双 10% 规则”。这一规则主要针对一般主动管理基金；ETF、指数基金等产品因复制标的指数需要，适用更具体的组合比例和偏离度管理条款。这里先用一般规则说明分散化的法律逻辑。这一规定是 Markowitz 分散化的法律强化，用来防止公募基金重仓单一资产带来非系统性风险。

私募基金受《私募投资基金监督管理条例》（2023 年 9 月施行）等规则规范，只能向特定合格投资者募集。合格投资者的具体门槛由证监会规则细化，通常包括个人金融资产不低于 300 万元或者近三年个人年均收入不低于 50 万元，且投资于单只私募基金的金额不低于 100 万元；单只私募基金投资人数还不得突破法律规定的上限。私募的投资范围比公募宽，可以投资未上市股权、私募证券、衍生品和其他符合监管规定的标的，但也因此更依赖信息披露、托管、适当性和风险揭示。

信托受《信托法》规范，是基于“信托关系”的财产管理工具，可投资范围最广（动产、不动产、债权、股权、知识产权等），但 2018 资管新规后回归“信托财产受托管理”本源，“通道业务”基本被堵。

理解这三类工具的法律边界，对组合管理的实务意义是：同样的最优组合权重，可以通过不同的法律外壳实现，而每种外壳的合规成本、流动性、税收处理、受托人义务都不同。这些要进入完整的组合优化考虑，是 Markowitz 模型在现实中的必要扩展。

投资者适当性与组合匹配

第二章风险法治部分已介绍《证券期货投资者适当性管理办法》。具体到组合管理，适当性原则要求经营机构评估投资者风险承受能力，并评估产品或服务的风险等级，二者匹配后方可销售。实务中常见做法是将客户划分为 \(C_1\)--\(C_5\) 五档，将产品划分为 \(R_1\)--\(R_5\) 五档。这一机制把效用函数中的风险厌恶系数 \(A\)（式 （见上文））对应到销售适当性中的客户标签和产品标签：风险承受能力较低的客户原则上只能购买低风险产品，风险承受能力较高的客户才可能购买高杠杆衍生品、私募股权等高风险产品。

匹配规则的法律意义在于“卖者尽责”，经营机构必须证明其对客户做了充分的风险提示和适当性评估。一旦未尽义务造成投资者损失，机构需承担相应责任（“卖者赔责”，参见第二章的王翔诉建行案）。从 Markowitz 框架看，适当性原则相当于在效用最大化求解 （见上文） 之外，叠加了法律可行集约束。它不是简单地把每个客户机械对应到一个产品集合，而是要求销售方基于客户风险承受能力、投资期限、投资目标和产品复杂度提出匹配意见。这是一个把数学最优解（无约束）“翻译”为法律可行解（有约束）的典型案例。

跨境组合

如案例 3.5 所示，有效分散化往往需要跨市场配置。但中国资本账户尚未完全开放，跨境投资必须通过特定法律通道：QDII（合格境内机构投资者）制度在 2006 年后陆续建立，证券类 QDII 规则于 2007 年实施，允许中国境内机构以外汇额度投资境外证券；QFII、RQFII（合格境外机构投资者、人民币合格境外机构投资者）允许境外机构投资 A 股；QDLP（合格境内有限合伙人）允许境内合格投资者通过境内私募架构投资境外二级市场或对冲基金；互联互通包括沪港通、深港通、债券通、互换通、跨境理财通等机制（参见第一章投资法治部分）。

每种通道有其额度、合格主体、投资范围与税务处理：QDII 依赖外汇管理部门批准的机构额度；QDLP 主要在上海、北京、深圳、青岛、海南等地试点；跨境理财通则服务粤港澳大湾区居民的跨境理财需求。这些通道规模相对中国资管总规模仍然有限，但其作为“分散化通道”的边际作用很重要，它们让 Markowitz 公式 （见上文） 中的 \(\boldsymbol{\Sigma}\) 协方差矩阵有了更多低相关资产可选。

本章小结

本章的主线是把分散化直觉改写成可计算的组合问题。单个资产的风险不能孤立理解，资产之间的协方差和相关性决定了组合风险。Markowitz 均值-方差框架把分散化从经验判断转化为权重、协方差矩阵和有效前沿；全局最小方差组合、资本配置线和资本市场线进一步说明，理性的组合选择是在风险与收益之间寻找最优权衡。

引入无风险资产后，投资者的风险偏好决定其在风险资产组合与无风险资产之间的配置比例，分离特性也为指数化投资和长期资产配置提供了理论基础。本章最后把组合理论放回中国资管实践，说明净值化、打破刚兑、双 10% 规则、合格投资者和跨境通道都会影响“理论最优组合”的可行边界。

本章关键概念

分散化 {} 协方差 {} 相关系数 {} 均值-方差模型 {} 有效前沿 {} 全局最小方差组合 {} 资本配置线 CAL {} 资本市场线 CML {} 切点组合 {} 市场组合 {} 夏普比率 {} 风险厌恶系数 {} 两基金分离定理 {} 分离特性 {} 被动投资 {} 风险平价 {} 资管新规 {} 法律可行集 {} 投资者适当性