投资组合理论

设两资产 \(A\)、\(B\) 的参数为 \(\sigma_A=18\%,\;\sigma_B=30\%\)；权重 \(\omega_A=0.6,\;\omega_B=0.4\)。

计算。 由 （见教材）： \begin{align*} \sigma_p^{2} &= 0.6^{2}\times 0.18^{2} + 0.4^{2}\times 0.30^{2} + 2\times 0.6\times 0.4\times \rho\times 0.18\times 0.30\\ &= 0.01166 + 0.01440 + 0.02592\rho\\ &= 0.02606 + 0.02592\rho. \end{align*} 代入 4 种 \(\rho\) 值：\(\rho=1\) 时 \(\sigma_p=22.8\%\)（仅是加权平均）；\(\rho=0.5\) 时 \(\sigma_p=19.8\%\)；\(\rho=0\) 时 \(\sigma_p=16.1\%\)；\(\rho=-1\) 时 \(\sigma_p=1.2\%\)。

启示。 当 \(\rho<1\) 时，\(\sigma_p\) 始终低于加权平均（22.8%）；\(\rho\) 越低，分散化越有效。需要注意，\(\rho=-1\) 并不自动等于零方差，只有权重刚好使两项风险暴露互相抵消时，才可以构造零方差组合。这就是后续 CAPM 中“市场组合与无风险资产”的预演。

某市场无风险利率 \(R_f=3\%\)，切点组合 \(M\) 的预期收益 \(E(R_m)=10\%\)、标准差 \(\sigma_m=18\%\)。

由 （见教材），CML 方程为： \[E(R_c) = 0.03 + \frac{0.10-0.03}{0.18}\,\sigma_c = 0.03 + 0.389\,\sigma_c.\]

每承担 1 个百分点波动率，切点组合补偿约 0.39 个百分点超额收益（夏普比率 \(=0.39\)）。在均衡解释中，这可理解为对全市场所有投资者一致的“风险价格”，它不取决于任何单个投资者的偏好。后面“分离特性”正是基于这一点。

延续上一例的市场参数：\(R_f=3\%,\;E(R_m)=10\%,\;\sigma_m=18\%\)。

保守型投资者 \(A=4\)：由 （见教材）， \[\omega_m^{*}=\frac{0.10-0.03}{4\times 0.18^{2}}=\frac{0.07}{0.1296}\approx 0.54.\] 即把 54% 资金投入切点组合、46% 投入无风险资产。组合预期收益 \(0.46\times 0.03+0.54\times 0.10 = 6.8\%\)，波动率 \(0.54\times 18\% = 9.7\%\)。

激进型投资者 \(A=2\)：\(\omega_m^{*}=\frac{0.07}{0.0648}\approx 1.08\)。即借入 8% 无风险资金，加杠杆持有 108% 切点组合。组合预期收益 \(1.08\times 0.10-0.08\times 0.03=10.6\%\)，波动率 \(1.08\times 18\%=19.4\%\)。

启示。 均值-方差最优解给出的不是“持有还是不持有”，而是“持有多少、是否借入”。这正是后续杠杆 ETF、保证金账户、结构化产品等金融工具的理论基础，但现实中的融资利率、保证金比例和监管约束会使最优杠杆低于这个简化模型的结果。