第 21 章 · 本章习题

随机贴现因子统一框架

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以下为教材原文整套习题；部分题目的解答见各章「本章自测」或讲义习题页。

一、单选题
  1. 基本定价方程 \(P=E[MX]\) 中，随机贴现因子 \(M\) 的经济含义是（ ）。

    A. 边际效用的增长率 \(\beta u'(c_{t+1})/u'(c_t)\)
    B. 无风险利率
    C. 市场组合收益
    D. 通货膨胀率
  2. 由 \(1=E[MR]\) 可知无风险总收益 \(R_f\) 等于（ ）。

    A. \(E[M]\)
    B. \(1/E[M]\)
    C. \(\mathrm{Var}(M)\)
    D. \(0\)
  3. 按 SDF 框架，一个资产的风险溢价取决于（ ）。

    A. 它的总方差
    B. 它的期望支付
    C. 它与 \(M\) 的协方差 \(\mathrm{Cov}(M,R)\)
    D. 它的价格
  4. 与 \(M\) 正相关（在坏时光支付高，像保险）的资产，其预期收益（ ）。

    A. 高于无风险利率
    B. 等于市场收益
    C. 一定为零
    D. 可低于无风险利率
  5. 资产定价基本定理表明，市场无套利当且仅当（ ）。

    A. 存在严格为正的随机贴现因子 \(M>0\)
    B. 市场完全
    C. 所有投资者风险中性
    D. CAPM 成立
  6. 风险中性测度 \(\mathbb{Q}\) 与 SDF 的关系是（ ）。

    A. 无关
    B. \(M=e^{-r}\,d\mathbb{Q}/d\mathbb{P}\)
    C. \(M=\mathbb{Q}\)
    D. \(\mathbb{Q}=E[M]\)
  7. 若 SDF 关于市场收益线性 \(M=a-bR_m\)，则可推出（ ）。

    A. APT
    B. 风险中性定价
    C. CAPM
    D. 有效市场假说
  8. Hansen-Jagannathan 界 \(|E[R^e]|/\sigma(R^e)\le\sigma(M)/E[M]\) 说明（ ）。

    A. 夏普比率无上界
    B. 风险溢价为零
    C. 消费波动很大
    D. 市场最高夏普比率被 SDF 的变异系数限定
  9. 相对于以市场组合收益为核心风险因子的 CAPM，CCAPM 对“坏时光”的核心刻画来自（ ）。

    A. 消费增长和边际效用的状态变化
    B. 市场组合的总市值
    C. 各资产的非系统性风险
    D. 货币供应量的当期增速
  10. 一价定律指（ ）。

    A. 所有资产价格相同
    B. 具有相同未来现金流的资产应有相同价格
    C. 价格永远上涨
    D. 无风险利率为零
  11. 股权溢价之谜（Mehra-Prescott 1985）的核心是（ ）。

    A. 股票收益太低
    B. 消费波动太大
    C. 在合理风险厌恶下标准消费模型无法解释观察到的高股权溢价
    D. 无风险利率太高
  12. 下列试图通过“习惯形成”放大 SDF 波动以解释股权溢价之谜的是（ ）。

    A. CAPM
    B. Black-Scholes
    C. APT
    D. Campbell-Cochrane（1999）
二、简答题
  1. 从代表性投资者的两期效用最大化出发，推导欧拉方程 式（21.1） 与基本定价方程 \(P=E[MX]\)，并解释 \(M\) 为什么是“边际效用增长率”。
  2. 用 式（21.6） 解释为什么“资产的风险溢价只取决于它与 \(M\) 的协方差”。为什么像保险一样在坏时光支付高的资产可以接受低于无风险利率的预期收益？
  3. 说明无套利与“存在正的 SDF”的等价关系。市场完全为什么意味着 \(M\) 唯一？
  4. 用 式（21.10）–式（21.11） 说明风险中性定价为什么只是 \(P=E[MX]\) 的重写。\(M=e^{-r}\,d\mathbb{Q}/d\mathbb{P}\) 如何连接物理测度与风险中性测度？
  5. 说明 CAPM 与 APT 如何分别作为“\(M\) 关于市场收益线性”和“\(M\) 关于多因子线性”的特例。这对理解 Fama-French 因子模型有何启示？
  6. 陈述 Hansen-Jagannathan 界，并用它解释股权溢价之谜：为什么在合理风险厌恶下，标准消费模型难以解释观察到的高股权溢价？
  7. 任选期权、零息债、高收益债或流动性较差资产中的一种，用 SDF 框架说明其价格为什么不能只看平均支付，而要看支付发生在什么状态。
三、计算题
  1. 已知某经济中 \(E[M]=0.96\)、\(\sigma(M)=0.30\)。请：（1）计算无风险总收益 \(R_f\) 与无风险净利率；（2）用 Hansen-Jagannathan 界估计市场可达到的最高夏普比率。
  2. 某资产总收益与 SDF 满足 \(\mathrm{Cov}(M,R_i)=-0.05\)、\(E[M]=0.97\)。请用 式（21.6） 计算该资产的预期超额收益 \(E[R_i]-R_f\)。
  3. 设幂效用 CRRA，消费增长波动率 \(\sigma(\Delta\ln c)=1.5\%\)。若市场夏普比率为 0.45，请用近似式 式（21.15） 与 HJ 界估计：（1）要解释该夏普比率所需的最低风险厌恶系数 \(\gamma\)；（2）讨论该 \(\gamma\) 是否合理，并说明这与股权溢价之谜的关系。
  4. 设 SDF 关于市场总收益线性：\(M=a-bR_m\)。请从风险溢价公式出发，简要说明如何推出 CAPM 的“期望收益—贝塔”形式 \(E[R_i]-R_f=\beta_i(E[R_m]-R_f)\)（写出关键步骤即可）。
  5. 某两期经济只有两个状态：好状态（概率 0.5）资产支付 120，坏状态（概率 0.5）支付 80；SDF 在好状态 \(M=0.85\)、坏状态 \(M=1.09\)。请：（1）用 \(P=E[MX]\) 计算资产价格；（2）由 \(E[M]\) 求无风险总收益 \(R_f\)；（3）计算资产预期收益率，判断它相对无风险利率是溢价还是折价，并解释与 \(M\) 协方差的关系。
  6. 沿用第十五章一步二叉树的上下行乘数 \(u=1.2\)、\(d=0.9\)，本题采用总收益口径给定无风险总收益 \(R_f=1.05\)，真实上行概率为 0.6。请：（1）计算风险中性上行概率 \(\pi_u^{\mathbb{Q}}=(R_f-d)/(u-d)\)；（2）说明为什么真实概率 0.6 不直接进入定价；（3）用 SDF 语言解释风险中性概率与 \(M\) 的关系。
四、案例分析

案例 21A 用统一框架检验一个新模型。 某研究者提出一个新的两因子资产定价模型，并用一组检验资产报告了很高的 \(R^2\)。请用本章框架回答：

  1. 任何资产定价模型都对应一个 SDF。该两因子模型隐含的 \(M\) 长什么样（线性结构）？如何把它写成 \(E[R_i]-R_f=\sum_k\beta_{i,k}\lambda_k\)？
  2. 你会如何用 Hansen-Jagannathan 界对这个模型做基本约束检验？若其隐含的 \(\sigma(M)/E[M]\) 低于数据中的最高夏普比率，说明什么？
  3. 高 \(R^2\) 是否等于模型正确？请结合第十九章业绩评价中的“数据窥探”与“因子动物园”问题，讨论如何用 GMM/GRS 与样本外检验来鉴别真因子。
  4. 若该模型用于衍生品定价或监管资本计算，模型风险治理会提出哪些额外要求？

五、延伸阅读

  1. Cochrane, J. H. (\(2005\)). Asset Pricing (Revised ed.). Princeton University Press. 说明：SDF 统一框架的系统教材，本章的重要参考。
  2. Hansen, L. P., & Jagannathan, R. (\(1991\)). Implications of Security Market Data for Models of Dynamic Economies. Journal of Political Economy, 99(2), 225–262. 说明：Hansen-Jagannathan 界。
  3. Mehra, R., & Prescott, E.
    C. (\(1985\)). The Equity Premium: A Puzzle. Journal of Monetary Economics, 15(2), 145–161. 说明：股权溢价之谜的原始论文。
  4. Lucas, R. E. (\(1978\)). Asset Prices in an Exchange Economy. Econometrica, 46(6), 1429–1445. 说明：消费资本资产定价的基础模型。
  5. Breeden,
    D. T. (\(1979\)). An Intertemporal Asset Pricing Model with Stochastic Consumption and Investment Opportunities. Journal of Financial Economics, 7(3), 265–296. 说明：CCAPM 的奠基论文。
  6. Hansen, L. P., & Singleton, K. J. (\(1982\)). Generalized Instrumental Variables Estimation of Nonlinear Rational Expectations Models. Econometrica, 50(5), 1269–1286. 说明：GMM 在资产定价中的应用。
  7. Hansen, L. P. (\(1982\)). Large Sample Properties of Generalized Method of Moments Estimators. Econometrica, 50(4), 1029–1054. 说明：GMM 的一般统计基础。
  8. Gibbons, M. R., Ross, S. A., & Shanken, J. (\(1989\)). A Test of the Efficiency of a Given Portfolio. Econometrica, 57(5), 1121–1152. 说明：GRS 定价误差联合检验。
  9. Shleifer, A., & Vishny, R. W. (\(1997\)). The Limits of Arbitrage. The Journal of Finance, 52(1), 35–55. 说明：套利受限与价格偏离。
  10. Harrison, J. M., & Kreps,
    D. M. (\(1979\)). Martingales and Arbitrage in Multiperiod Securities Markets. Journal of Economic Theory, 20(3), 381–408. 说明：无套利与等价鞅测度的奠基。
  11. Li,
    D. X. (\(2000\)). On Default Correlation: A Copula Function Approach. The Journal of Fixed Income, 9(4), 43–54. 说明：信用组合违约相关性与高斯 copula 定价框架。
  12. Campbell, J. Y., & Cochrane, J. H. (\(1999\)). By Force of Habit: A Consumption-Based Explanation of Aggregate Stock Market Behavior. Journal of Political Economy, 107(2), 205–251. 说明：习惯形成对股权溢价之谜的解释。
  13. Bansal, R., & Yaron,
    A. (\(2004\)). Risks for the Long Run: A Potential Resolution of Asset Pricing Puzzles. The Journal of Finance, 59(4), 1481–1509. 说明：长期风险模型。
  14. Gu, S., Kelly, B., & Xiu,
    D. (\(2020\)). Empirical Asset Pricing via Machine Learning. The Review of Financial Studies, 33(5), 2223–2273. 说明：机器学习与因子动物园的前沿。

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