随机贴现因子统一框架

背景。 假设明年只有两种状态：好时光与坏时光，真实概率各 \(50\%\)。投资者在好时光消费充裕，边际效用低，令 \(M_G=0.90\)；坏时光消费紧张，边际效用高，令 \(M_B=1.10\)。现在比较两只资产，A 在好时光支付 120、坏时光支付 80；B 在好时光支付 80、坏时光支付 120。

定价。 由 \(P=E[MX]\)： \[ P_A=0.5\times0.90\times120+0.5\times1.10\times80=98, \] \[ P_B=0.5\times0.90\times80+0.5\times1.10\times120=102. \] 两只资产的平均支付都为 100，但 B 更贵，因为它在坏时光支付更多，能提供保险；A 更便宜，因为它在投资者最缺钱的时候支付更少，需要用更低价格、更高预期收益来补偿。

解读。 这个例子说明，资产价格不是简单等于“平均现金流折现”。同样的平均支付，支付发生在哪个状态决定价值。SDF 的作用，就是给坏时光的现金流更高权重，给好时光的现金流较低权重。

背景。 假设明年只有好、坏两种状态，真实概率各 \(0.5\)。市场上一单位“好状态证券”价格 \(q_G=0.43\)，一单位“坏状态证券”价格 \(q_B=0.52\)。

计算。 由 \(q_s=\pi_s M_s\)，得 \[ M_G=\frac{0.43}{0.5}=0.86,\qquad M_B=\frac{0.52}{0.5}=1.04. \] 坏状态 SDF 更高，说明坏时光的一元钱更值钱。无风险资产在两个状态都支付 1 元，它的价格为 \(q_G+q_B=0.95\)，所以无风险总收益为 \[ R_f=\frac{1}{0.95}\approx1.0526. \]

解读。 状态价格是“某状态一元支付的价格”，SDF 是“单位真实概率对应的状态价格”。下一节会看到，风险中性概率则是把状态价格按无风险收益归一化后的定价概率。三者只是同一套无套利价格的三种语言。

背景。 下一期只有状态 1、状态 2 两种可能。市场上有两种可交易资产：\(A\) 在两状态支付 \((10,8)\)、现价 \(8\)；\(B\) 支付 \((8,12)\)、现价 \(9\)。现在要给一份新资产 \(C\) 定价，它在两状态支付 \((3,1)\)。

方法一：复制。 用 \(a\) 份 \(A\) 加 \(b\) 份 \(B\) 复制 \(C\) 的支付： \[ 10a+8b=3,\qquad 8a+12b=1\ \Rightarrow\ a=0.5,\ b=-0.25. \] 即买入 \(0.5\) 份 \(A\)、卖空 \(0.25\) 份 \(B\) 就能复制 \(C\)。无套利下 \(C\) 的价格等于复制组合的成本： \[ P_C=0.5\times 8-0.25\times 9=1.75. \]

方法二：状态价格。 先用两个可交易资产的价格反解状态价格 \(q_1,q_2\)： \[ 10q_1+8q_2=8,\qquad 8q_1+12q_2=9\ \Rightarrow\ q_1=\tfrac{3}{7},\ q_2=\tfrac{13}{28}. \] 再按状态价格给 \(C\) 定价： \[ P_C=3q_1+1\cdot q_2=3\times\tfrac{3}{7}+\tfrac{13}{28}=1.75. \]

方法三：风险中性。 无风险资产在两状态都支付 \(1\)，故 \(1/R_f=q_1+q_2=\tfrac{25}{28}\)，即 \(R_f=\tfrac{28}{25}=1.12\)。风险中性概率 \(\pi_s^{Q}=R_f q_s\)： \[ \pi_1^{Q}=\tfrac{28}{25}\times\tfrac{3}{7}=0.48,\qquad \pi_2^{Q}=\tfrac{28}{25}\times\tfrac{13}{28}=0.52. \] 于是 \[ P_C=\frac{1}{R_f}E^{Q}[C]=\tfrac{25}{28}\,(0.48\times 3+0.52\times 1)=1.75. \]

解读。 三种方法给出相同的价格 \(1.75\)，并非巧合：状态价格 \(q_s\) 本身就是用可交易资产复制出来的，风险中性概率 \(\pi_s^{Q}=R_f q_s\) 只是状态价格的归一化，而 SDF 则是 \(M_s=q_s/\pi_s\)。复制、状态价格、风险中性、SDF，是同一套无套利价格的四种语言。只要新资产能被现有资产复制，价格就由无套利唯一确定；不能复制时（市场不完全），价格才会依赖模型假设——这正是下一小节要面对的问题。