背景。 投资者预期某股票或 ETF（当前 \(S_0=50\) 元）将上涨，购买行权价 \(K=50\) 元、3 个月后到期的看涨期权，权利金 \(C=2\) 元/股。
到期不同情形下的净损益：
| \(S_T\) (元) | \(\max(0, S_T-K)\) | 净损益（元/股） | 收益率 |
|---|---|---|---|
| 40 | 0 | \(-2\) | \(-100\%\) |
| 48 | 0 | \(-2\) | \(-100\%\) |
| 50 | 0 | \(-2\) | \(-100\%\) |
| 52 | 2 | 0 | \(0\%\)（盈亏平衡） |
| 55 | 5 | \(+3\) | \(+150\%\) |
| 60 | 10 | \(+8\) | \(+400\%\) |
| 70 | 20 | \(+18\) | \(+900\%\) |
解读。 盈亏平衡点为 \(S_T=K+C=52\) 元，标的上涨 \(4\%\) 后投资者才不亏损。一旦突破盈亏平衡点，杠杆效应会让期权收益率明显放大。期权的风险敞口很小，但对应的是较大的名义标的敞口，这正是期权以小额权利金换取非线性收益的核心机制。
背景。 投资者持有某股票 \(1\,000\) 股（当前 \(S_0=50\) 元），担心未来 \(3\) 个月可能因业绩不及预期而下跌。买入行权价 \(K=48\) 元、3 个月后到期的看跌期权 \(1\,000\) 股，权利金 \(P=1.5\) 元/股，总成本 \(\,1\,500\) 元。
到期不同情形下的组合损益（股票与看跌期权）：
| \(S_T\) | 股票损益 | 看跌期权损益 | 组合净损益 |
|---|---|---|---|
| 35 | \(-15\,000\) | \(+13\,000-1\,500=11\,500\) | \(-3\,500\) |
| 40 | \(-10\,000\) | \(+8\,000-1\,500=6\,500\) | \(-3\,500\) |
| 45 | \(-5\,000\) | \(+3\,000-1\,500=1\,500\) | \(-3\,500\) |
| 48 | \(-2\,000\) | \(0-1\,500=-1\,500\) | \(-3\,500\) |
| 50 | 0 | \(-1\,500\) | \(-1\,500\) |
| 55 | \(+5\,000\) | \(-1\,500\) | \(+3\,500\) |
| 60 | \(+10\,000\) | \(-1\,500\) | \(+8\,500\) |
解读。 看跌期权把组合下行损失锁定在 \(-3\,500\) 元。保护性看跌策略相当于用 \(1\,500\) 元权利金购买下行保险，把最大组合损失限定为股票下跌至行权价前的自留风险和权利金成本之和。在权益市场波动加大时，机构投资者常用 ETF 期权、股指期权或场外期权构造类似的下行保护。
背景。 某股票当前 \(S_0=50\) 元、3 个月后到期的欧式期权（\(T=0.25\)）：行权价 \(K=50\) 元的看涨期权报价 \(C=2.50\) 元、看跌期权报价 \(P=1.80\) 元。无风险利率 \(r=4\%\)（连续）、无股息。检验 PCP 是否成立；若不成立，设计套利策略。
PCP 两侧检验：
\[ \text{左侧} = C + K\,e^{-rT} = 2.50 + 50\,e^{-0.01} = 2.50 + 49.503 = 52.003\;\text{元}. \] \[ \text{右侧} = P + S_0 = 1.80 + 50 = 51.80\;\text{元}. \]差值：左侧比右侧高 \(0.203\) 元，存在套利机会。
套利策略（卖出贵的、买入便宜的）：
解读。 这是期权市场中常见的平价套利思路。在高流动性、交易成本低、卖空和融资约束较弱的市场中，报价偏离会被套利者迅速压缩，让 PCP 成为期权价格之间稳定的锚。在实际市场中，交易费用、保证金、卖空约束、行权结算规则和税费会形成一个无套利区间，偏差只有超过这些成本后才具备交易价值。
背景。 当前 \(S_0=100\) 元，\(\Delta t=1\) 年。预期一年后两种情形：上涨到 \(120\) 元（\(u=1.20\)）或下跌到 \(90\) 元（\(d=0.90\)）。设真实物理概率 \(q_{\mathrm{real}}=0.70\)（市场普遍乐观）。无风险利率 \(r=4\%\) 连续。求行权价 \(K=100\) 元的看涨期权公允价格。
第一步：计算两种基本概率。
风险中性概率（由公式 式（15.8） 决定）： \[ p = \frac{e^{0.04}-0.90}{1.20-0.90} = \frac{1.0408-0.90}{0.30} = 0.4694. \] 真实物理概率：\(q_{\mathrm{real}}=0.70\)（题目给定）。二者差距 \(23\) 个百分点！
第二步：计算期权到期收益。 \(C_u=\max(120-100,0)=20\)；\(C_d=\max(90-100,0)=0\)。
第三步：用风险中性公式定价（正确方法）： \[ C = e^{-0.04}\big[\,0.4694\times 20 + 0.5306\times 0\,\big] = 0.9608\times 9.388 \approx \mathbf{9.02\,\text{元}}. \]
第四步：用复制组合验证。 由 式（15.6）：
\[ \Delta = \frac{C_u-C_d}{(u-d)S_0} = \frac{20-0}{0.30\times 100} = \frac{2}{3}\approx 0.6667\,\text{股}. \]设期初借款 \(B\) 元（正值表示借入），让期末上涨情形下复制组合价值等于期权收益：
\[ \Delta\,uS_0 - B\,e^{r\Delta t} = C_u \;\Rightarrow\; 0.6667\times 120 - B\times 1.0408 = 20. \]解出 \(B = 60/1.0408 \approx 57.65\) 元。复制组合期初成本：
\[ C = \Delta\,S_0 - B = 0.6667\times 100 - 57.65 = 66.67 - 57.65 = \mathbf{9.02\,\text{元}}. \]两种方法结果一致，印证了风险中性定价与复制组合定价的等价性。
第五步：错误使用真实概率会怎样（错误示例）： \[ C^{\text{wrong}} = e^{-0.04}\big[\,0.70\times 20 + 0.30\times 0\,\big] = 0.9608\times 14 = 13.45\,\text{元}. \]
若市场按 13.45 元成交则存在套利。 套利者卖出期权（收 \(13.45\)）+ 买入复制组合（成本 \(9.02\)）：
第六步：核心启示。
这就是 BSM 框架的核心结论之一：在给定 \(S_0,K,u,d,r\) 等合约和市场输入后，单步期权价格由复制成本决定，而不需要代入 \(q_{\mathrm{real}}\)。真实物理概率被无套利原则过滤掉，这是理解风险中性定价的关键。
背景。 当前 \(S_0=20\) 元，\(T=6\) 个月（\(\Delta t=3\) 个月，\(2\) 步）。每步上涨 \(10\%\)（\(u=1.10\)）或下跌 \(10\%\)（\(d=0.90\)）。无风险利率 \(r=5\%\)（连续）。行权价 \(K=20\) 元，求欧式看涨期权当前价值。
风险中性概率： \[ p = \frac{e^{0.05\times 0.25}-0.9}{1.1-0.9} = \frac{1.01258-0.9}{0.2} = 0.5629. \]
第 \(2\) 步（\(t=0.5\)）的可能价格与到期收益：
第 \(1\) 步（用 式（15.7） 倒推）：
\[ C_u = e^{-0.05\times 0.25}\big[\,0.5629\times 4.2 + 0.4371\times 0\,\big] \approx 2.334;\qquad C_d = 0. \]第 \(0\) 步： \[ C_0 = e^{-0.05\times 0.25}\big[0.5629\times 2.334 + 0.4371\times 0\big] = 0.9876\times 1.314 \approx \mathbf{1.297\,\text{元}}. \]
解读。 这一价格在 \(N\to\infty\) 时会收敛到 BSM 公式。用 \(S=20, K=20, T=0.5, r=0.05, \sigma=\ln(1.1)/\sqrt{0.25}\approx 0.191\) 代入 BSM 得 \(C\approx 1.33\) 元，与二步树的 \(1.30\) 元接近；差异主要来自步数只有 \(N=2\)，当步数增大时离散二叉树会进一步收敛。二叉树的优势是逐步可见、易于推广到美式期权和奇异期权。
背景。 设 \(S_0=50\)、\(K=52\)、\(u=1.20\)、\(d=0.83\)、\(r=5\%\)、\(\Delta t=0.5\) 年、\(N=2\)。这里取较大的下跌幅度 \(d=0.83\)，是为了清楚展示提前行权何时会产生价值。求美式看跌期权价值。\(p=(e^{0.05\times 0.5}-0.83)/(1.2-0.83)=(1.0253-0.83)/0.37=0.5278\)。
倒推美式看跌：每个内部节点比较“继续持有的价值”与“立即行权的价值”，取大者。
第 \(2\) 步到期收益：\(P_{uu}=\max(52-72,0)=0\)；\(P_{ud}=\max(52-49.8,0)=2.2\)；\(P_{dd}=\max(52-34.45,0)=17.55\)。
第 \(1\) 步上涨节点（\(S=60\)）：
第 \(1\) 步下跌节点（\(S=41.5\)）：
第 \(0\) 步： \[ P_0 = e^{-0.05\times 0.5}[0.5278\times 1.01 + 0.4722\times 10.5] = 0.9753\times 5.49 \approx \mathbf{5.36\,\text{元}}. \]
对比欧式看跌：若不允许提前行权，\(P_d\) 节点用 \(\,9.22\) 而非 \(10.5\)，得 \(P_0^{\text{Eu}}\approx 4.77\) 元。美式看跌比欧式看跌贵约 \(0.59\) 元，这就是提前行权权利的价值。
解读。 美式看跌的提前行权价值在深度实值、高利率和长期限时更明显。可提前行权是一项可能转化为实际价格差异的权利。
背景。 当前 \(S_0=50\) 元，行权价 \(K=50\) 元，剩余期限 \(T=3\) 个月（\(0.25\) 年），无风险利率 \(r=4\%\) 连续，年化波动率 \(\sigma=30\%\)，无股息。求欧式看涨期权 \(C\) 和欧式看跌期权 \(P\)，并验证 PCP。
第一步：计算 \(d_1, d_2\)： \[ \begin{aligned} d_1 &= \frac{\ln(50/50)+(0.04+0.30^2/2)\times 0.25}{0.30\sqrt{0.25}} \\ &= \frac{0.02125}{0.15} \approx 0.1417,\\ d_2 &= d_1 - \sigma\sqrt{T} = 0.1417 - 0.15 = -0.0083. \end{aligned} \]
第二步：查正态分布表：\(N(0.1417)\approx 0.5563\)，\(N(-0.0083)\approx 0.4967\)。
看涨期权价格： \[ \begin{aligned} C &= 50\times 0.5563 - 50\,e^{-0.04\times 0.25}\times 0.4967 \\ &= 27.816 - 24.586 \approx \mathbf{3.230\,\text{元}}. \end{aligned} \]
看跌期权价格： \[ \begin{aligned} P &= 50\,e^{-0.04\times 0.25}\times N(0.0083) - 50\times N(-0.1417) \\ &= 24.916 - 22.184 \approx \mathbf{2.732\,\text{元}}. \end{aligned} \]
PCP 验证：
\begin{align*} \text{左侧} &= C+K\,e^{-rT} = 3.230 + 49.502 = 52.732; \\ \text{右侧} &= P+S_0 = 2.732 + 50 = 52.732. \end{align*}在保留更多小数时，两侧理论上严格相等。上式中的微小差异只来自 \(N(\cdot)\) 和折现因子的舍入。
解读。 平值期权（\(S=K\)）在波动率 \(30\%\)、3 个月期限下的合理价格约 \(\,3.0\)–\(3.5\) 元（约 \(\,6\%\) 标的价值）。这一价格估算对实务交易者的快速判断很有用：平值期权的价格约 \(\sigma\sqrt{T}/2.5\) 倍标的价格（即 \(0.30\sqrt{0.25}/2.5\approx 6\%\)），可作为正式计算前的数量级判断。
背景。 沪深 \(300\) ETF 当前 \(\,3.50\) 元，2 个月后到期的期权（\(T=2/12\) 年）行权价 \(K=3.50\) 元的看涨期权市场报价 \(C_{\text{市}}=0.085\) 元。无风险利率 \(r=2\%\) 连续，无股息。求隐含波动率 \(\sigma_{\text{隐含}}\)。
思路。 用 BSM 公式 式（15.17） 反推。试不同 \(\sigma\) 值代入 BSM、看哪个 \(\sigma\) 让 \(C_{\text{BSM}}=0.085\)。
试算（依次代入 BSM 公式得到 \(C_{\text{BSM}}\)，与目标 \(0.085\) 比较）：
| \(\sigma\) | \(d_1\) | \(d_2\) | \(N(d_1)\) | \(C_{\text{BSM}}\)（元） | 评价 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(20\%\) | 0.082 | 0.000 | 0.5325 | 0.120 | 偏高 |
| \(15\%\) | 0.085 | 0.024 | 0.5339 | 0.091 | 略高 |
| \(14\%\) | 0.087 | 0.030 | 0.5346 | 0.086 | 接近 |
隐含波动率 \(\sigma_{\text{隐含}}\approx 14\%\)。
解读。 隐含波动率 \(14\%\) 可以与同一标的的历史波动率、同期限其他行权价期权的 IV、以及市场事件日程对比。若隐含波动率显著高于历史波动率，说明市场愿意为未来不确定性支付更高保险费；若明显偏低，则说明市场定价较为平静。隐含波动率是市场价格反推出的风险补偿，并非未来波动率的客观数值。
背景。 期权做市商卖出 \(\,1\,000\) 张沪深 \(300\) ETF \(2\) 月看涨期权（行权价 \(\,3.50\)，每张合约 \(\,10\,000\) 份单位）。当前 \(\,S_0=3.50\)，单份期权 Delta 为 \(\Delta_{\text{单份}}=0.55\)（按 BSM 计算）。求做市商应如何对冲？若 ETF 涨到 \(\,3.55\)，单份期权 Delta 变为 \(0.62\)，做市商应如何调整？
初始对冲。 卖出 \(1\,000\) 张看涨期权对应总 Delta：
\[ \mathcal{D}_{\text{期权}} = -1\,000\times 10\,000\times 0.55 = -5\,500\,000\;\text{份 ETF}. \]为对冲，做市商需买入 \(\,5\,500\,000\) 份 ETF（约 \(1\,925\) 万元）让组合 Delta 中性。
标的上涨后的再平衡。 ETF 涨到 \(\,3.55\)，新 \(\Delta=0.62\)。组合 Delta：
\[ \mathcal{D}_{\text{组合}} = -1\,000\times 10\,000\times 0.62 + 5\,500\,000 = -700\,000. \]做市商需再买入 \(\,700\,000\) 份 ETF（约 \(\,250\) 万元）恢复中性。
这就是 Delta-Gamma 动态对冲的本质。 标的上涨让卖空期权的 Delta 变得更负（\(\Gamma\) 效应），所以必须再买入更多标的来对冲；标的下跌时则需要卖出标的。
做市商的盈利来源。 做市商卖出期权收 \(\Theta\) 收益；动态对冲则会产生 \(\Gamma\) 成本，价格上涨时买入、价格下跌时卖出，容易形成再平衡损耗。净盈亏取决于实际波动率与隐含波动率的差异：若实际波动率低于卖出时的隐含波动率，做市商更可能获得正收益；若实际波动率更高，Gamma 损失可能超过收到的时间价值。因此，期权做市商本质上也是波动率交易者。这个例子也提醒读者：Delta 中性只消除了小幅方向暴露，并没有消除大幅波动、跳跃、流动性和模型风险。
背景。 某个股标的当前 \(S_0=100\) 元，下周公布财报，市场预期波动巨大但方向未明。投资者构建跨式策略：买入 \(1\) 张行权价 \(K=100\) 元的看涨期权（权利金 \(\,4.5\) 元），并买入 \(1\) 张同行权价的看跌期权（权利金 \(\,4.5\) 元）。总成本 \(\,9\) 元/股。
到期日盈亏：
| \(S_T\) | 看涨收益 | 看跌收益 | 净损益 |
|---|---|---|---|
| 80 | 0 | 20 | \(20-9=+11\) |
| 85 | 0 | 15 | \(15-9=+6\) |
| 91 | 0 | 9 | \(9-9=0\)（下盈亏平衡点） |
| 95 | 0 | 5 | \(5-9=-4\) |
| 100 | 0 | 0 | \(-9\)（最大损失） |
| 105 | 5 | 0 | \(5-9=-4\) |
| 109 | 9 | 0 | \(9-9=0\)（上盈亏平衡点） |
| 115 | 15 | 0 | \(15-9=+6\) |
| 120 | 20 | 0 | \(20-9=+11\) |
解读。 跨式策略在 \(S_T<\,91\) 或 \(S_T>\,109\) 时盈利，需要标的有至少 \(9\%\) 的单边波动才能盈亏平衡。这一策略本质上是做多波动率，投资者押注财报会引发大幅波动。
隐含波动率视角。 上述跨式总成本 \(9\) 元，等于标的价值的 \(9\%\)，意味着市场为这只股票隐含了约 \(9\%\) 的潜在波动。如果实际财报后涨跌幅低于 \(9\%\)，跨式买方亏损、卖方盈利。财报后隐含波动率骤跌会让跨式买方常常面临亏损，即使方向判断正确，也可能因 IV 急速回落而无法补偿权利金成本。
背景。 机构投资者持有 \(\,1\,000\) 万份 50ETF（\(S_0=2.50\) 元，市值 \(\,2\,500\) 万元），希望在不卖出 ETF 的前提下增加月度现金流。卖出 \(\,1\,000\) 张当月平值看涨期权（\(K=2.50\) 元，每张 \(\,10\,000\) 份），权利金 \(\,0.04\) 元/份，总收入 \(\,40\) 万元（\(\sim\,1.6\%\) 月化）。
到期日 \(T\) 的损益情形：
| \(S_T\) | ETF 损益 | 看涨期权卖出损益 | 组合净损益 |
|---|---|---|---|
| 2.30 | \(-200\) 万 | \(+40\) 万 | \(-160\) 万 |
| 2.40 | \(-100\) 万 | \(+40\) 万 | \(-60\) 万 |
| 2.50 | 0 | \(+40\) 万 | \(+40\) 万 |
| 2.55 | \(+50\) 万 | \(+40-50=-10\) 万 | \(+40\) 万（被行权，ETF 按 \(\,2.50\) 卖出） |
| 2.60 | \(+100\) 万 | \(-100+40=-60\) 万 | \(+40\) 万（同上，被行权） |
| 2.70 | \(+200\) 万 | \(-160\) 万 | \(+40\) 万（被行权） |
解读。 备兑看涨的实质，是把标的的卖出价格上限锁在 \(K\)。若 ETF 涨破行权价，机构必须按 \(K\) 卖出 ETF，放弃上方收益；组合相对初始持仓的利润上限为 \(K-S_0+\) 权利金。本例 \(K=S_0=2.50\)，所以最高组合利润就是 \(40\) 万元权利金收入。该策略适合长期持有标的且预期短期震荡的机构，也适合希望在持仓上叠加现金流的投资者。注意：权利金只能缓冲一部分下跌，不能保护现货组合免受大幅下跌。
背景。 某企业拥有一年后启动一个项目的权利，但没有必须投资的义务。若一年后市场景气，项目价值为 \(140\)；若市场低迷，项目价值为 \(80\)。启动项目需要投入 \(K=100\)，无风险利率 \(r=5\%\)。为简化说明，设风险中性概率 \(p=0.5\)。
等待权利的价值： \[ V_{\text{wait}}=e^{-0.05}\left[0.5\times\max(140-100,0)+0.5\times\max(80-100,0)\right]\approx 19.0. \]
解读。 若企业今天必须立即投资，静态 NPV 可能只是 \(105-100=5\)。但拥有“等一年再决定”的权利后，下行情形可以不投，上行情形才行权，等待权利本身就有价值。实务中，项目价值、概率和风险调整需要更细致估计，不能把实物期权机械当作估值加分项。
期权的本质，是把“选择”本身标上价格。买方支付权利金，买到的是未来不利时可以放弃、有利时可以行使的权利；卖方收取权利金，承担的是别人选择权背后的不确定性。理解期权，就是理解不对称风险如何被设计、定价和转移。
Merton（1974）的结构化信用模型把公司资产价值 \(V_T\) 看成最终可分配的标的资产，把债务面值 \(D\) 看成优先索取权。有限责任下，股东到期权益可写为 \[ E_T=\max(V_T-D,0), \] 这正是一份以公司资产为标的、以债务面值为行权价的看涨期权；风险债务则可理解为无风险债券减去一份由债权人隐含卖出的看跌期权。因而，对接近违约、退市或重组边缘的公司，普通股剩余价值更接近深度价外看涨期权：价值主要来自波动性、剩余期限和重组可能性，而不是稳定现金流。