债券

背景。 某 5 年期、面值 100 元、年付票息 5 元（票面利率 5%）的公司债，市场要求的 YTM \(y = 6\%\)。求理论价格。

计算。 由公式 （见教材）： \begin{align*} P &= \sum_{t=1}^{5}\frac{5}{1.06^{t}} + \frac{100}{1.06^{5}} \\ &= \frac{5}{1.06} + \frac{5}{1.06^{2}} + \frac{5}{1.06^{3}} + \frac{5}{1.06^{4}} + \frac{5}{1.06^{5}} + \frac{100}{1.06^{5}} \\ &\approx 4.72 + 4.45 + 4.20 + 3.96 + 3.74 + 74.73 \approx 95.79. \end{align*}

解读。 \(P = 95.79 < 100 = F\)，债券折价交易，因为票面利率 \(c = 5\%\) 低于市场要求的 \(y = 6\%\)。投资者不愿意按面值购买票息率低于市场利率的债券，必须打折才能成交。

反向验算。 假设市场 YTM 改为 4%（即 \(c > y\)），重算得 \(P \approx 104.45 > 100\)，债券溢价交易。这说明票面利率与市场利率的差决定了债券折溢价方向。

背景。 某 10 年期、4% 年息、面值 100 元的国债，当前 YTM \(y_{0} = 4\%\)，价格 \(P_{0} = 100\) 元。修正久期 \(D^{*} = 8.11\)，凸性 \(\mathrm{Conv} \approx 80.75\)。

用久期估计价格变化。 若 YTM 从 4% 上升到 5%（\(\Delta y = +1\%\)），由 （见教材）： \[\frac{\Delta P}{P_0} \approx -8.11 \times 1\% = -8.11\%.\] 即价格预计跌至 \(100 \times (1 - 0.0811) = 91.89\) 元。

加入凸性修正。 由 （见教材）： \[\frac{\Delta P}{P_0} \approx -8.11\times 1\% + \tfrac{1}{2}\times 80.75 \times 1\%^{2} = -8.11\% + 0.40\% = -7.71\%.\] 即价格预计跌至 \(100\times(1-0.0771) = 92.29\) 元。

精确价格（用 （见教材） 重新计算）： \[P_1 = \sum_{t=1}^{10}\frac{4}{1.05^{t}} + \frac{100}{1.05^{10}} \approx 30.89 + 61.39 \approx 92.28.\] 精确重算价格为 \(92.28\) 元，久期估计为 \(91.89\) 元，久期与凸性估计为 \(92.29\) 元。加入凸性后误差从 0.39 元缩小到 0.01 元。

解读。 久期估计是线性近似，凸性修正是二阶修正。在利率剧烈波动时（如 \(\Delta y \geq 1\%\)），凸性修正对估计精度的提升非常明显。在债券组合管理中，利用久期匹配进行免疫策略是利率风险管理的经典方法：把组合修正久期匹配到投资期，可以使利率小幅波动下的组合终值更稳定。

法治含义。 中国债券市场的久期管理是基金合同和产品风控的重要约束。许多债券基金会在合同、招募说明书或内部风控规则中约定组合久期范围、信用等级限制或集中度上限，这是把利率风险显性化的合规工具。

背景。 假设某中国商业银行的资产负债结构如下：资产端总资产 5000 亿元，其中贷款 3500 亿元（修正久期 2.5）、债券投资 1000 亿元（修正久期 5.0）、现金与其他资产 500 亿元（久期忽略）；负债端总负债 4200 亿元，其中存款 3700 亿元（修正久期 0.8）、同业负债 300 亿元（修正久期 0.3）、其他负债 200 亿元（久期忽略）；权益 800 亿元。

计算资产端组合修正久期： \[D_A^{*} = \frac{3500\times 2.5 + 1000\times 5.0 + 500\times 0}{5000} = \frac{8750 + 5000 + 0}{5000} = 2.75.\]

计算负债端组合修正久期： \[D_L^{*} = \frac{3700\times 0.8 + 300\times 0.3 + 200\times 0}{4200} = \frac{2960 + 90 + 0}{4200} \approx 0.73.\]

久期缺口： \[\mathrm{DGAP} = D_A^{*} - D_L^{*}\times \frac{L}{A} = 2.75 - 0.73\times \frac{4200}{5000} \approx 2.14.\] （这里简化为不考虑权益久期的常规做法）

利率冲击下的权益变化。 若利率上行 100 bp（\(\Delta y = +1\%\)），由 \(\Delta E \approx -\mathrm{DGAP}\times A\times \Delta y\)： \[\Delta E \approx -2.14\times 5000\times 1\% = -107.0\,\text{亿元}.\] 即银行权益预计缩水约 107.0 亿元，约为该银行权益（800 亿元）的 13.4%。这里用总资产 \(A\) 度量敞口，是因为利率冲击作用于整张资产负债表；最终由权益吸收净损失，才会出现“资产规模测算、权益规模承受”的杠杆放大效果。

法治含义。 巴塞尔委员会与中国《商业银行资本管理办法》都把“银行账簿利率风险”（IRRBB）作为监管重点，银行需定期测算各种利率冲击情景下的经济价值变化（EVE）和净利息收入变化（\(\Delta\)NII）。本例的久期缺口分析就是 IRRBB 监管中最核心的风险度量工具。中国银行业面临的“息差收窄与久期错配”压力，要求银行更精细地管理资产和负债的期限结构。

保险公司的镜像问题。 保险公司面对的是相反的久期错配：负债端以寿险合同（修正久期 10 至 20 年）为主，资产端以中短期债券、贷款为主，因此 \(D_A^{*} < D_L^{*}\)。利率下行时保险公司的负债现值上升快于资产现值上升，保险公司面临利率下行风险，正与银行相反。这一镜像让中国保险业近年大力增配长期国债、超长期国债、永续债，以延长资产端久期、缩小久期缺口。

背景。 某机构 5 年后须支付一笔确定负债 100 万元，当前市场收益率平坦为 \(y = 4\%\)。该负债等价于一只 5 年期零息债务，其 Macaulay 久期为 5 年，现值为 \[PV_L = \frac{100}{1.04^{5}} \approx 82.19\ \text{万元}.\]

构造免疫组合。 市场上有两只债券：A 的 Macaulay 久期为 3，B 的 Macaulay 久期为 8。为使组合久期等于负债久期 5 年，设 A 的权重为 \(\omega_A\)： \[3\,\omega_A + 8\,(1-\omega_A) = 5 \;\Rightarrow\; \omega_A = 0.6,\quad \omega_B = 0.4.\] 于是把 82.19 万元按 6:4 配置：A 投入约 49.32 万元、B 投入约 32.88 万元。此时 \(PV_A = PV_L\)、\(D_A = D_L = 5\)。

为什么被免疫。 由“短久期 A + 长久期 B”构成的组合，其现金流比单点到期的负债更分散，凸性更高，满足 Redington 第三条件。因此在收益率小幅平行变动时，资产盈余 \((PV_A - PV_L)\) 的一阶变化为零、二阶变化非负，组合终值能够覆盖负债。

现实约束。 免疫不是“一劳永逸”。随着时间推移和收益率变动，资产久期与负债久期会重新错位（久期会随时间和利率漂移），因此免疫组合需要定期再平衡，这会产生交易成本，是免疫策略最主要的现实约束。对多期负债（如养老金的长期支付流），需要把每一期负债的久期都纳入匹配，或采用关键期限久期（key-rate duration）分别对冲收益率曲线不同期限的变动。

背景。 当前收益率平坦为 \(y = 4\%\)。子弹组合是单一 7 年期零息债券；哑铃组合由 2 年期与 15 年期零息债券构成。零息债券的修正久期为 \(T/(1+y)\)、凸性为 \(T(T+1)/(1+y)^{2}\)。

匹配久期。 对零息债券而言，Macaulay 久期等于到期期限 \(T\)，修正久期等于 \(T/(1+y)\)。因此可先用期限匹配 Macaulay 久期：设哑铃中 2 年期权重 \(\omega\)，令 \(\omega\cdot 2 + (1-\omega)\cdot 15 = 7\)，得 \(\omega \approx 0.615\)（2 年期）、\(0.385\)（15 年期）。在平坦收益率 \(y=4\%\) 下，两组合修正久期同步除以 \(1.04\)，都约为 \(7/1.04\approx 6.73\)。

比较凸性。 子弹凸性 \(= 7\times 8/1.04^{2} \approx 51.8\)；哑铃凸性 \(= 0.615\times\dfrac{2\times3}{1.04^{2}} + 0.385\times\dfrac{15\times16}{1.04^{2}} \approx 3.4 + 85.4 = 88.8\)。

平行变动下的表现。 由 （见教材），收益率平行下行 100 bp（\(\Delta y=-1\%\)）时，凸性贡献 \(\tfrac12\,\mathrm{Conv}\,(\Delta y)^2\) 对哑铃约为 \(+0.44\%\)、对子弹约为 \(+0.26\%\)。在久期相同的前提下，哑铃因更高的凸性，在收益率大幅平行变动时（无论涨跌）都占优约 0.18 个百分点。

解读。 但这一优势有前提：它假设收益率曲线平行移动。若曲线陡峭化（15 年端相对上行），哑铃的长端会蒙受额外损失，子弹反而更稳。凸性并不是无成本收益来源，高凸性组合往往要以更低的初始收益率买入。

背景。 某债券组合市值 10 亿元、修正久期 \(D_P^{*}=6.0\)；拟用中金所 10 年期国债期货完全对冲利率风险。设期货合约面值 100 万元、当前净价约 100 元，最便宜可交割券修正久期 \(D_F^{*}=8.0\)。本例为教学简化，暂按净价约 100、转换因子约为 1 处理；实务中通常要用基点价值（DV01）、转换因子、发票价格和 CTD 切换情景进一步校正。

计算金额久期。 组合金额久期（未乘 \(1\%\) 的比值口径）\(= 6.0\times 10\,\text{亿} = 60\,\text{亿元}\)；单张合约金额久期 \(= 8.0\times 100\,\text{万} = 800\,\text{万元}\)。若换成 DV01 口径，分子和分母会同时乘以 \(1\%/100\ \text{bp}\)，对冲张数不变。

对冲张数。\ \[N = \frac{D_P^{*}\times P_{\text{组合}}}{D_F^{*}\times P_{\text{合约}}} = \frac{60\,\text{亿}}{800\,\text{万}} = 750\ (\text{张}).\] 组合面临利率上行风险，应卖出 750 张 10 年期国债期货。直观地，对冲名义 \(=0.75\times 10\,\text{亿}=7.5\,\text{亿元}\)，正好等于久期比 \(6.0/8.0=0.75\) 乘以组合市值。

残余风险。 该对冲仍残留基差风险（现券与最便宜可交割券、期货之间相关不完全）、转换因子和 CTD 切换风险、收益率曲线非平行变动风险，以及展期与保证金管理风险。