背景。 假设市场中只有一个系统性因子，即利率因子（记为 \(\ell\)）。两个分散得很好的资产组合 \(A,B\) 的参数为：
构造因子中性组合。 为便于演示，设每单位资产的初始价格均标准化为 1，因此 \(\omega\) 既可以理解为头寸份额，也可以理解为初始金额。设资产 \(A\) 的空头规模为 \(\omega_A\)，资产 \(B\) 的多头规模为 \(\omega_B\)。组合的总因子敏感性应为零，即组合对利率因子没有暴露：
\begin{equation}\label{eq:ch05:neutral} -\omega_A \beta_{A,\ell} + \omega_B \beta_{B,\ell} = 0 \;\Rightarrow\; \omega_A = 0.5\,\omega_B. \end{equation}这意味着，要使组合对利率因子中性，资产 \(A\) 的空头规模应为资产 \(B\) 多头规模的二分之一。取 \(\omega_B = 2\)（即买入 2 单位资产 \(B\)），则 \(\omega_A = 1\)（即卖出 1 单位资产 \(A\)）。由于买入 2 单位 \(B\) 同时卖空 1 单位 \(A\)，净初始投入为 1 单位，因此这个 1 单位的“因子中性组合 \(P\)”的收益率为：
\begin{equation}\label{eq:ch05:port_return} E[R_p] = \omega_B E[R_B] - \omega_A E[R_A] = 2 \times 10\% - 1 \times 15\% = 5\%. \end{equation}识别套利机会。 市场上无风险资产 \(F\) 的收益率为 \(4\%\)，组合 \(P\) 的收益率为 \(5\%\)。由于 \(P\) 的净初始成本已经标准化为 1 单位，这里可以把 \(5\%\) 直接理解为每 1 单位净投入的收益率。于是套利者借入 1 单位无风险资金（等价于在无风险资产上建立 \(-1\) 的头寸），买入 1 单位因子中性组合 \(P\)，在模型假设下可锁定净收益 \(1\%\)。这就是 APT 的核心套利路径：先构造因子中性的近似无风险组合，再比较它的收益率与真正无风险资产的收益率。
均衡回归。 大量套利者执行此操作时，会持续卖空 \(A\)、买入 \(B\)：资产 \(A\) 价格被压低，未来收益率上升；资产 \(B\) 价格被推高，未来收益率下降。注意组合 \(P\) 的收益率是 \(2R_B-R_A\)，所以这两个价格调整方向都会压低 \(P\) 的预期收益，直至 \(P\) 与 \(F\) 收益率趋同。这就是 APT 假设的“无套利均衡回归”机制（图 图 5.2）。
背景。 设两因子模型，市场上三个分散良好的资产组合：
| 资产 | 期望收益率 | 因子 1 \(\beta_1\) | 因子 2 \(\beta_2\) |
|---|---|---|---|
| \(A\) | 8% | 1.0 | 0.5 |
| \(B\) | 12% | 1.5 | 1.0 |
| \(C\) | 14% | 2.0 | 0.5 |
无风险利率 \(R_f=4\%\)。
第一步：求解隐含因子风险溢价 \(\mathrm{RP}_1, \mathrm{RP}_2\)。 由 APT 公式 式（5.2） 用资产 \(A,B\) 联立： \begin{align*} 4\% + 1.0\,\mathrm{RP}_1 + 0.5\,\mathrm{RP}_2 &= 8\%,\\ 4\% + 1.5\,\mathrm{RP}_1 + 1.0\,\mathrm{RP}_2 &= 12\%. \end{align*} 解得 \(\mathrm{RP}_1 = 0\%,\;\mathrm{RP}_2 = 8\%\)。
第二步：用 \(A,B\) 隐含的因子溢价校验资产 \(C\)。 \[E[R_C] \stackrel{?}{=} 4\% + 2.0\times 0\% + 0.5\times 8\% = 8\%.\] 但市场报价 \(E[R_C] = 14\%\)，比 APT 预测高出 6%。这意味着资产 \(C\) 被低估，存在套利机会。
第三步：构造套利组合。 用 \(A,B\) 复制 \(C\) 的因子暴露 \((\beta_1, \beta_2) = (2.0, 0.5)\)：设 \(\omega_A,\omega_B\) 为头寸规模（以初始金额计，而非占比权重）， \begin{align*} 1.0\,\omega_A + 1.5\,\omega_B &= 2.0,\\ 0.5\,\omega_A + 1.0\,\omega_B &= 0.5. \end{align*} 解得 \(\omega_A = 5,\;\omega_B = -2\)（即买入 5 单位 \(A\)、卖空 2 单位 \(B\)）。这一组合复制了 \(C\) 的因子载荷，但净投资额为 \(5-2=3\)。为了构造与 \(C\) 初始成本相同的复制组合，还需要加入 \(\omega_F=-2\) 的无风险资产头寸（即借入 2 单位无风险资金），使总权重满足 \(5-2-2=1\)。因此复制组合的期望收益为 \[ 5\times 8\% - 2\times 12\% - 2\times 4\% = 8\%. \] 复制组合与 \(C\) 具有相同因子暴露、相同初始成本，但预期收益只有 \(8\%\)，而 \(C\) 的市场预期收益为 \(14\%\)。在无摩擦模型中，套利者会做多 \(C\)，同时反向持有复制组合：卖空 \(5\) 单位 \(A\)、买入 \(2\) 单位 \(B\)，并贷出 \(2\) 单位无风险资产。这样总初始投入为零，系统性因子暴露也为零，只剩 \(14\%-8\%=6\%\) 的定价偏差收益。此类套利压力会推动相关价格调整，直到扣除成本后的套利空间不再足以支持交易。
背景。 2024 年某交易日盘中：沪深 300 ETF（代码 510300）二级市场买卖价 \(P_{\text{市场}} = 4.205\) 元/份；按一篮子成分股加权计算的实时单位净值 IOPV \(=\) 4.220 元/份。折价率 \(d_{\mathrm{ETF}} = (4.205 - 4.220)/4.220 = -0.36\%\)。
折价套利路径（“一级/二级市场申赎套利”）：
扣除成本后净利：佣金约 0.025% \(\times\) 2，印花税 0.05%（卖出方），申赎费约 0.05%（单边口径），跟踪误差和冲击成本约 0.05%，合计约 0.20%。净套利约 \(0.16\%\)，对应每百万元资金约 \(1\,600\) 元；在本例 100 万份 ETF、约 420.5 万元资金规模下，约为 \(6\,700\) 元。单次收益有限，但 ETF 套利可以在申赎与交收规则允许的窗口内滚动执行；对做市商而言，它更像稳定但有限的价格约束收益，而不是暴利来源。
溢价套利方向相反：当 ETF 二级市场价格高于 IOPV 时，用现金申购得到 ETF 份额，再在二级市场卖出。
中国市场注解。 ETF 套利是 A 股最主要的现货套利场景之一。做市商和机构投资者会持续监控 ETF 折溢价并执行套利。不同 ETF 的申赎效率、成分股可卖出时点、现金替代比例和最小申赎单位并不完全相同，因此不能把所有折溢价都说成“瞬时无风险收益”。正是这些套利力量与制度摩擦共同作用，才让中国主流股票 ETF 的盘中折溢价通常较小：套利的主要功能不是获取暴利，而是把价格约束在公允价值附近。这一现象可以看作 APT “无套利约束”在中国 ETF 市场中的具体体现。
背景。 2024 年 6 月某交易日：沪深 300 现货指数 \(S_0=3\,500\) 点；沪深 300 IF2412 合约（12 月到期）期货价 \(F_0=3\,460\) 点；剩余期限 \(T=0.5\) 年；无风险利率 \(r=2.0\%\)；沪深 300 年化股息率 \(q=2.5\%\)。
由 式（5.5） 计算公允期货价： \[ F^{*}=3500\times e^{(0.02-0.025)\times 0.5} \approx 3500\times 0.9975 \approx 3491. \]
识别套利。 实际期货价 \(3460 < 3491\)，期货被低估约 31 点（约 0.9%）。套利策略：买入期货、卖空现货组合并持有到期。每点合约价值 300 元，若用精确价差 \(31.26\) 点计算，1 张合约理论毛收益约为 \(31.26\times300=9\,378\) 元；正文取 31 点是为了便于口算，且该数值尚未扣除融券、冲击成本、保证金占用和跟踪误差。
中国市场背景。 2015 年 A 股异常波动后，中金所对股指期货实施限仓、提高保证金并调整平今仓费用，股指期货在一段时期内出现较深贴水（即 \(F < F^{*}\)）。这种由制度约束和套保供需失衡共同形成的贴水，成为 2015–2018 年间部分期现套利和期货多头替代（“吃贴水”）策略的收益来源之一；但对需要做空期指来对冲股票多头的市场中性产品，深贴水反而意味着更高的对冲成本。这个现象说明监管约束本身也可能造就套利空间，也是 APT 理论很难在没有制度背景的情况下解释的中国市场现象。
若一个等权组合包含 \(N\) 个特质冲击近似独立、方差有界的资产，则组合特质项的方差约为 \[ \mathrm{Var}\!\left(\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\varepsilon_i\right)\approx \frac{\bar{\sigma}_{\varepsilon}^{2}}{N}. \] 当 \(N\) 变大时，个别公司新闻、订单冲击和临时交易带来的噪声会以 \(1/N\) 的速度下降；这就是 APT 能把注意力集中在共同因子上的算术基础。
假设只有一个共同因子，两个充分分散的组合 \(A\) 与 \(B\) 对该因子的暴露都为 \(1\)，但 \(A\) 的预期收益为 \(9\%\)，\(B\) 的预期收益只有 \(6\%\)。买入 \(A\)、卖空等额 \(B\) 后，组合的因子暴露相互抵消，净初始成本近似为零，却留下约 \(3\%\) 的预期收益差。只要这种价差足够大、交易成本和卖空约束没有吞噬它，套利资金就会买 \(A\)、卖 \(B\)，直到二者在同一因子暴露下给出一致补偿。APT 定价式正是把这一直觉推广到多个共同因子。