背景。 假设某现金管理产品的名义年化收益率为 3%。若同期通胀率为 1%，投资者的购买力增长明显为正；若通胀率升至 4%，账面收益仍为正，但真实购买力已经下降。
计算。 由费雪公式 （见教材）： \[ r_{\mathrm{real}}^{(\pi=1\%)}=\frac{1.03}{1.01}-1\approx1.98\%,\qquad r_{\mathrm{real}}^{(\pi=4\%)}=\frac{1.03}{1.04}-1\approx-0.96\%. \] 启示。 名义收益率解决的是“账户多了多少”，实际收益率解决的是“购买力多了多少”。现金类资产的核心价值通常是流动性和安全性，而不是长期购买力增长；评价这类资产时，必须把通胀一并放入收益口径。
背景。 某偏股混合基金 2021--2023 年的份额净值变化：年初 1.000 元，年末 1.250 元（+25%）；第二年末 1.000 元（\(-20\%\)）；第三年末 1.300 元（+30%）。
某投资者甲在 2021 年初投入 10 万元，在 2022 年初基金大涨后追加 50 万元（“追高”），2023 年末赎回。
计算。 基金的时间加权收益率： \[\bar{r}_{\mathrm{TWR}} = \left[(1+0.25)(1-0.20)(1+0.30)\right]^{1/3} - 1 = 1.30^{1/3} - 1 \approx 9.14\%\;(\text{年化}).\] 而投资者甲的现金流为 \(\{-10, -50, 0, V_3\}\) 万元。期末价值为最初 10 万元对应的 13 万元，加上第二年初追加 50 万元在第三年末对应的 52 万元，即 \(V_3\approx 65\) 万元。解 IRR （见教材）： \[-10 - 50/(1+r) + 65/(1+r)^{3} = 0 \;\Rightarrow\; r_{\mathrm{MWR}} \approx 3.8\%\,(\text{年化})\]
启示。 同一只基金，“基金净值年化 9.14%”是 TWR；落到追高基民口袋里的 MWR 只有约 3.8%。这就是“基金收益”与“基民收益”分化的来源：TWR 更适合评价管理人的组合运作，MWR 更能反映投资者自己的申赎时点。
背景。 沪深 300 指数 2020--2023 年日收益率标准差约 1.20%。
计算（基础 \(\sqrt{T}\) 法则）。 由 （见教材），假设交易日 252 天： \[\sigma_{\mathrm{year}} = 1.20\%\times\sqrt{252} = 1.20\%\times 15.87 \approx 19.05\%\]
修正（GARCH(1,1) 估计）。 实际样本中，2022 年 4 月、2023 年 8 月等出现了连续 5 个以上交易日 \(|r_t|>2\%\) 的“波动聚集”窗口；用 GARCH 模型拟合得到的“长期方差”对应年化 \(\hat\sigma_{\mathrm{year}}\approx 22.3\%\)，比 \(\sqrt{T}\) 法则估计高出约 17%。
启示。 \(\sqrt{T}\) 法则在波动聚集存在时可能系统性低估年化风险；若仍据此估算 VaR，极端损失事件在样本中的出现频率可能显著高于模型给出的尾部概率。2015 年 A 股股灾正是这种低估的极端体现。
背景。 取沪深 300（记为 \(H\)）和中证 500（记为 \(Z\)）2020--2023 年共 48 个月的月收益率，简化样本统计为： \begin{align*} \mathrm{E}(r_H)&=0.4\%,\;\sigma_H=4.5\%;\\ \mathrm{E}(r_Z)&=0.2\%,\;\sigma_Z=5.8\%. \end{align*} \[\mathrm{Cov}(r_H, r_Z) = 21.4\,(\%)^{2}\]
计算。 由 （见教材）： \[\rho = \frac{21.4}{4.5\times 5.8} = \frac{21.4}{26.1}\approx 0.82\] 若以沪深 300 作为“市场”，由 （见教材） 估中证 500 对沪深 300 的 \(\beta\)： \[\beta_{Z\to H} = \frac{21.4}{4.5^{2}} = \frac{21.4}{20.25}\approx 1.06\]
启示。 0.82 的相关系数说明两个指数高度同向，做“沪深 300 和中证 500”的简单组合分散效果有限，与做“A 股和美股”或“A 股和黄金”远远不在一个量级。\(\beta\approx 1.06\) 进一步说明中证 500 相对沪深 300 的系统性敏感度略高于 1，但中证 500 的特异性风险（小盘风格、行业暴露）比 \(\beta\) 数字暗示的要高得多。因此，指数增强产品若要形成持续超额，通常不能只依赖市场时机，还需要在选股、行业暴露和风险控制上提供解释。
背景。 设某机构持有 1 亿元 A 股股票组合，假设组合日收益率 \(r\sim N(\mu=0,\sigma=2\%)\)。
计算 1（参数法 VaR）。 由 （见教材）（95% 置信水平 \(z_{0.95}=1.645\)）： \[q_{0.05}^{1\,\text{日}} = 0 - 1.645\times 2\% = -3.29\% \;\Rightarrow\; \mathrm{VaR}_{0.05}^{\text{loss}} = 329\,\text{万元}.\] 计算 2（参数法 ES/ETL/CVaR）。 由 （见教材） 与正态分布的封闭解 \(\mathrm{ETL}=\sigma\,\phi(z_{0.95})/0.05\)，其中 \(\phi(1.645)=0.103\)： \[\mathrm{ETL}_{0.05}^{1\text{日}} = 1\text{亿}\times 2\%\times \frac{0.103}{0.05}\approx 412\text{万元}\] 计算 3（10 日 VaR，巴塞尔方法）。 \(\sqrt{10}\approx 3.16\)： \[\mathrm{VaR}_{0.05}^{\text{loss},\,10\text{日}} \approx 329\times 3.16 \approx 1\,040\text{万元}\]
启示。 三个结论同样重要：（1）“95% VaR” 不等于“最坏只损失 329 万”，它仅刻画“95% 概率下不超过的损失边界”；（2）ES/ETL/CVaR 比 VaR 多约 25%，给出的是“最坏 5%”内的平均损失，对极端情形的资本规划更稳健；（3）从 1 日到 10 日的换算依赖 \(\sqrt{T}\) 法则，但 2015 年 6 月 A 股股灾期间，10 日实际累积跌幅约为 \(-21\%\)，明显超过同一模型给出的 10 日 VaR。这个例子说明，波动聚集和非正态尾部会显著放大极端损失。
背景。 三只 2023 年度公募基金：
计算。 由 （见教材）： \begin{align*} \mathrm{SR}_A &= \tfrac{0.12-0.02}{0.18}\approx 0.56,\\ \mathrm{SR}_B &= \tfrac{0.25-0.02}{0.38}\approx 0.61,\\ \mathrm{SR}_C &= \tfrac{0.08-0.02}{0.06}=1.00. \end{align*}
启示。 收益率最高的 B（25%）夏普比率仅 0.61，与 A 差异不大；而看似波动较小的 C 风险调整后表现最好。这是夏普比率的核心价值：它把“收益跑赢”还原为“每单位风险的超额收益”。但夏普比率也有局限。如果 C 的收益结构是“日常少量获利、偶尔大幅亏损”（典型如卖期权策略），其历史夏普比率可能很高，但 CVaR 和最大回撤也可能远超 A、B。所以夏普比率必须配合 Sortino、最大回撤、CVaR 综合判断。
背景。 两个 ETF 组合可供选择：
计算 1（保守型投资者 \(A=4\)）。 \[U_P = 0.08 - \tfrac{4}{2}\times 0.10^{2} = 0.08-0.02 = 6\%\] \[U_Q = 0.12 - \tfrac{4}{2}\times 0.25^{2} = 0.12-0.125 = -0.5\%\] P 明显占优，保守型投资者应选择 P。
计算 2（激进型投资者 \(A=1\)）。 \[U_P = 0.08-\tfrac{1}{2}\times 0.01 = 7.5\%;\quad U_Q = 0.12-\tfrac{1}{2}\times 0.0625 = 8.875\%\] Q 占优，激进型投资者应选择 Q。
启示。 同样两个组合，\(A\) 从 4 降到 1 就会使最优选择从 P 转向 Q。这就是为什么投资者适当性管理（客户身份识别、风险测评问卷、风险等级匹配）长期是金融监管重点：把“风险偏好”从抽象概念转化为可操作、可留痕、可复核的销售流程，本质上是在降低产品风险与投资者承受能力错配的概率。
凯利公式讨论的是一个看似简单、但在投资中非常重要的问题：当一个投资机会具有正期望时，投资者究竟应当投入多少资金比例？它的目标不是最大化单次收益，而是最大化长期复利增长率。
假设某投资机会有两个结果：成功概率为 \(p\)，失败概率为 \(q=1-p\)。若成功，每投入 1 元可获得净收益 \(b\) 元；若失败，则损失投入本金。投资者每次投入财富的比例为 \(f\)。若期初财富为 \(W\)，则一次投资后：
\[ \text{成功时：} W \rightarrow W(1+bf), \qquad \text{失败时：} W \rightarrow W(1-f). \]由于长期财富是多次结果连续相乘，最大化单期期望收益并不足够，更合理的目标是最大化期望对数财富增长率：
\[ G(f)=p\ln(1+bf)+q\ln(1-f). \]对 \(f\) 求导并令其为零：
\[ G'(f)=\frac{pb}{1+bf}-\frac{q}{1-f}=0. \]整理可得：
\[ \frac{pb}{1+bf}=\frac{q}{1-f}, \qquad pb(1-f)=q(1+bf). \]进一步化简：
\[ pb-q=bf(p+q). \]由于 \(p+q=1\)，因此：
\[ f^{*}=\frac{pb-q}{b}. \]这就是凯利公式。其中 \(f^{*}\) 表示最优投资比例，\(p\) 表示成功概率，\(q\) 表示失败概率，\(b\) 表示净赔率。
例如，若某策略成功概率为 \(60\%\)，失败概率为 \(40\%\)，成功时赚取与本金相同的收益，即 \(b=1\)，则：
\[ f^{*}=\frac{1\times 0.6-0.4}{1}=0.2. \]这意味着，在模型假设成立时，最优投入比例为总财富的 \(20\%\)。如果投入比例低于 \(20\%\)，长期复利增长速度没有被充分利用；如果投入比例高于 \(20\%\)，虽然单次盈利时收益更高，但亏损时对财富的破坏也更大，长期对数增长率反而下降。
启示。 凯利公式说明，正期望机会并不意味着应当满仓。仓位管理的核心，是在胜率、赔率和长期复利之间寻找平衡。现实投资中，胜率 \(p\) 和赔率 \(b\) 往往难以准确估计，且收益分布可能存在厚尾、流动性冲击和模型失效。因此，完整凯利仓位通常偏激进，实务中更常采用半凯利或四分之一凯利，以降低估计误差带来的过度杠杆风险。
风险最危险的样子，不是你知道自己可能亏损，而是你以为那种亏损“不可能发生”。许多危机真正击穿模型，不是因为模型完全没有用，而是因为使用者把历史样本里的平静误认为未来世界的边界。本章反复讨论方差、尾部、流动性和压力测试，正是为了把“没见过”与“不会发生”区分开。