金融学系列教材 · 投资学 INVESTMENTS现代资本市场的价值、风险与法治
第 二十一 章 · 终章

随机贴现因子
统一框架

\(P_t=E_t[M_{t+1}X_{t+1}]\)
定价方程 · 无套利 · 统一框架 · HJ界 · 实证 · 全书回看课堂教学讲义
引子一条主线

所有定价模型，背后是同一条主线

均值方差、CAPM、APT、债券贴现、期权风险中性，看似几套不同工具，背后有共同主线。

坏时光的一元钱，比好时光的一元钱更值钱。

\[ P_t=E_t[M_{t+1}X_{t+1}] \]
CAPM = 对 \(M\) 的线性假设
APT = 对 \(M\) 的多因子近似
风险中性 = 把 \(M\) 吸收进测度
资产高预期收益的关键不是波动大，而是是否在 \(M\) 高的坏状态亏钱。
本章导航CHAPTER MAP

从 P=E[MX] 到全书回看

21.1
定价方程
欧拉·状态价格
21.2
无套利定价
风险中性测度
21.3
统一框架
CAPM·APT
21.4
HJ界与溢价谜
习惯·长期·灾难
21.5
资产解释
期权·债券·信用
21.6
实证检验
GMM·因子动物园
21.7
全书回看
四种语言
21.8
模型法治
无套利·市场诚信
21.1从欧拉方程到 SDF

风险溢价由“与 M 的协方差”决定

欧拉方程 → SDF
\[ M_{t+1}=\beta\frac{u'(c_{t+1})}{u'(c_t)} \]
基本定价方程
\[ P_t=E_t[M_{t+1}X_{t+1}] \]
无风险利率
\[ R_f=1/E_t[M_{t+1}] \]
风险溢价
\[ E_t[R_i]-R_f=-R_f\mathrm{Cov}_t(M,R_i) \]
坏时光下跌：\(\mathrm{Cov}(M,R)<0\) → 要求正风险溢价
坏时光上涨（像保险）：\(\mathrm{Cov}>0\) → 可低于无风险
例题两状态世界的 SDF 与状态价格

平均支付相同，支付状态决定价值

好/坏各 50%，\(M_G=0.90\)、\(M_B=1.10\)
A（好 120 / 坏 80）：\(P_A=98\)
B（好 80 / 坏 120）：\(P_B=102\)

平均支付都 100，但 B 更贵——它在坏时光支付多，提供保险。
状态价格视角
无套利 \(P=\sum_s q_s X_s\)，\(q_s=\pi_s M_s\)
\[ M_s=\frac{q_s}{\pi_s} \]
SDF = 状态价格 ÷ 真实概率。坏状态 \(q_s\) 高，即使概率不大，\(M_s\) 也高。
21.2无套利与风险中性测度

风险中性定价只是 P=E[MX] 的重写

资产定价基本定理
无套利 ⟺ 存在严格为正的 SDF \(M>0\)，使所有资产 \(P=E[MX]\)。市场完全则 \(M\) 唯一。
测度变换
\[ M=e^{-r}\frac{d\mathbb{Q}}{d\mathbb{P}},\quad P=e^{-r}E^{\mathbb{Q}}[X] \]
连续与离散写法等价：\(e^{-r}=1/R_f=E[M]\)，故 \(P=e^{-r}E^{\mathbb{Q}}[X]=\tfrac{1}{R_f}E^{\mathbb{Q}}[X]\)（见“核心公式（二）”）。
四种语言（同一套价格）
复制　用现有资产复制新资产
状态价格　\(q_s\)
风险中性　\(\pi_s^Q=R_f q_s\)
SDF　\(M_s=q_s/\pi_s\)
市场不完全时 SDF 可能不唯一 → 模型选择进入定价。
21.3表 21.1　主要模型与 SDF 的对应

给 M 加不同结构 = 不同定价模型

模型对 SDF M 的假设章节
CAPM\(M=a-bR_m\)（市场收益线性）第四章
APT / 多因子\(M=a-\sum_k b_k F_k\)（多因子线性）第五章
CCAPM\(M=\beta u'(c_{t+1})/u'(c_t)\)本章
风险中性定价把 \(M\) 吸收进测度 \(\mathbb{Q}\)第十五章
债券定价多期 \(M\) 决定贴现与期限结构第九章
期望收益—贝塔表示 \(E[R_i]-R_f=\beta_{i,M}\lambda_M\)（\(\lambda_M<0\)）。CAPM 深层假设是 M 可由市场组合线性表示；均值-方差前沿与 SDF 是同一几何的两面。
21.3理论收口

一图统一：一切都是 P ＝ E[MX]

基本定价方程 P = E[MX] CAPM M = a − b·R_m M 关于市场收益线性（第4章） APT / 多因子 M = a − Σ b_k·F_k M 关于多因子线性（第5章） 风险中性测度 M = e^(−r)·dQ/dP 把 M 吸收进概率 Q（第15章） 债券 / 期限结构 P⁽ⁿ⁾ = E[M_{t,t+n}]（多期 M，第9章） CCAPM M = β·u'(c_{t+1})/u'(c_t) 消费边际效用增长率（本章）
看似几套独立工具，背后是同一个 P = E[MX]——区别只在如何为 M 指定形式。
21.4图 21.1　Hansen-Jagannathan 界

最高夏普比率被 SDF 波动限定

Hansen-Jagannathan 界
\[ \frac{|E[R^e]|}{\sigma(R^e)}\le\frac{\sigma(M)}{E[M]} \]
左边是最高夏普比率，右边是 SDF 的“变异系数”。
要解释数据中的高夏普比率，模型的 \(M\) 就必须足够波动。检验任何定价模型的基本约束。
案例 21.1股权溢价之谜：标准消费框架的张力

合理风险厌恶下，难以解释高股权溢价

CRRA 近似
\[ \frac{\sigma(M)}{E[M]}\approx\gamma\,\sigma(\Delta\ln c) \]
1994–2025：SPY 夏普 ≈ 0.59，消费增长波动 ≈ 2.2% → \(\gamma\) 需接近 27（远高于个位数合理值）。
任何理论最终要回答：\(M\) 能否同时解释无风险利率（\(E[M]\)）与风险溢价（\(\sigma(M)\)）。
21.4股权溢价之谜

γ 缺口：需要 27，证据是个位数

风险厌恶 γ 模型可达最大夏普 0 10 20 27 微观证据 γ 个位数 市场夏普 ≲ γ·σ(Δln c) 市场观测夏普 ≈ 0.59 交点 γ≈27
CRRA 近似 ＋ HJ 界
\[ \text{市场夏普}\lesssim\gamma\,\sigma(\Delta\ln c) \]
1994–2025 测算
SPY 年化夏普 ≈ 0.59
消费增长波动 ≈ 2.2%
\(0.59=\gamma\times2.2\%\Rightarrow\gamma\approx\) 27
需要 27、证据却是个位数 → 巨大缺口。与 Mehra-Prescott（1985）数量级一致，催生三条修补路径。
21.4表 21.x　三类消费模型修补

如何提高 SDF 波动

路径如何提高 SDF 波动主要直觉
习惯形成消费接近习惯水平时边际效用急升坏时光更痛，更厌恶亏损（Campbell-Cochrane 1999）
长期风险持久增长率冲击影响长期现金流微小但持久的增长变化大幅改变股票价值（Bansal-Yaron 2004）
罕见灾难小概率大损失提高尾部状态价格投资者为灾难保险付出高价格
共同目标：让坏时光的边际效用更高、更波动，从而同时解释股权溢价、低无风险利率与资产价格波动。
21.5资产解释：同一个 M

期权、债券、流动性、信用，逻辑一致

期权
风险中性概率是 M 调整过的定价概率。崩盘保险贵：支付时点珍贵。波动率微笑 = 下跌状态价格更高。
零息债与期限结构
\(P^{(n)}=E[M_{t,t+n}]\)。期限溢价 = 长期债券现金流与 SDF 协方差补偿。
流动性
坏时光流动性极值钱。流动性溢价不是简单平均买卖价差，与系统性流动性状态相关。
信用利差
不只看违约概率多大，还看违约发生在什么状态。与衰退相关的违约要更高利差。
21.5方差风险溢价

VIX² 接入 P ＝ E[MX]

时间 方差 隐含方差 VIX²（风险中性） 已实现方差 RV 缺口 ＝ 方差风险溢价
经验事实
隐含方差（VIX²）系统性高于事后已实现方差，二者之差 = 投资者为对冲波动率上升支付的溢价。
SDF 解释
波动率上升常发生在 M 高的坏时光，对冲它的头寸天然昂贵。方差风险溢价正是
\( \mathrm{Cov}(M,\text{波动率})>0 \)
的价格表现。
同源于波动率微笑：虚值看跌 IV 更高 = 市场给下跌状态更高价格。这把“恐慌指数”接入了统一框架。
案例 21.2 / 21.3崩盘保险与高收益债

坏时光的一元钱，比好时光更贵

崩盘保险为何贵
深虚值看跌平时大概率归零，但在市场暴跌、财富受损、融资约束收紧时支付。价值不在平均支付高，而在支付时点珍贵。
高收益债不能只看票息
经济下行、利差扩大、基金赎回时，同时面对价格下跌、流动性折价、赎回卖压。亏损发生在投资者最不愿承受亏损的状态。高票息是风险补偿。
21.6实证检验

从“模型对不对”到“错得有多远”

定价误差（一切检验的中心）
\[ g(\theta)=E[M(\theta)R-\mathbf{1}] \]
GMM（Hansen 1982）+ GRS 检验 α 是否联合为零
检验资产要丰富：规模、价值、动量、债券、外汇、期权
两类问题 + 前沿
时间序列　α 是否为零
横截面　为什么平均收益有高低
因子动物园　数百“显著”因子，哪几个真进入 M
机器学习 SDF　服务 SDF 约束，不替代无套利
案例 21.4同一个问题的四种语言

某资产衰退收益差、繁荣收益好

组合理论
它增加组合的坏时光风险
CAPM
它是否有高市场贝塔
多因子模型
它暴露于哪些宏观或风格因子
SDF 框架
它在 M 高时支付低，必须给出高预期收益
业绩评价：阿尔法本质是模型 M 无法解释的平均收益。选错基准、遗漏因子，阿尔法就被高估。
法治链接 21.1无套利的两面：定价前提与市场诚信

无套利既是数学前提，也是制度成果

操纵破坏价格发现
操纵、虚假陈述制造虚假价格。打击操纵（刑法 182 条）是保护资产定价的制度基础。
套利的极限
Shleifer-Vishny(1997)：套利受资金、做空约束限制时，价格可长期偏离基本价值。
模型风险治理
2008 CDO 用高斯 copula 对尾部赋权不足，M 在极端坏状态权重不足，压力期定价失效。巴塞尔 FRTB 要求模型验证。
案例 21.5　“用错 SDF”的代价：模型越简洁，越需说明忽略了哪些坏状态、在哪些条件下失效。理论、市场、制度、法治四条线索在此收束。
本章小结 · 全书收束SUMMARY

一条主线，统一全书的定价理论

1
\(P=E[MX]\)：风险溢价只取决于与 \(M\) 的协方差；SDF = 状态价格 ÷ 真实概率，坏时光更贵。
2
无套利 ⟺ 正 SDF；CAPM/APT 是 \(M\) 线性特例，风险中性是等价改写；HJ 界引出股权溢价之谜。
3
期权、债券、流动性、信用同一框架；基石无套利依赖法治维护的市场诚信与模型风险治理。
本章关键概念KEY CONCEPTS

复习清单

随机贴现因子 SDF定价核欧拉方程P=E[MX]边际效用增长率状态价格Arrow-Debreu 证券风险溢价与协方差无套利与正 SDF市场完全/不完全风险中性测度最小方差 SDFHJ 界期望收益—贝塔表示CAPM/APT 作为线性 SDFCCAPM股权溢价之谜习惯形成长期风险罕见灾难风险中性密度方差风险溢价期限溢价机器学习 SDF