金融学系列教材 · 投资学 INVESTMENTS现代资本市场的价值、风险与法治
第 十五 章
期权
把“选择”本身标上价格
损益结构 · 二叉树 · BSM 模型 · 希腊字母 · 交易策略 · 法治课堂教学讲义
引子选择权
不对称风险如何被设计、定价和转移
买方付权利金，获得未来按约定价格交易资产的权利，但无义务。权利义务不对称：买方最大损失锁定为权利金，潜在收益放大。
现代起点：1973.4.26 CBOE 标准化股票期权，同年 BSM 模型。
中国 2015.2.9 上证 50ETF 期权（首只场内）
三条学习线索：损益图 · BSM 复制 · 尾部风险
三线演进：产品扩容 + 法治约束 + 市场开放
理解期权，就是理解不对称风险如何被设计、定价和转移。
本章导航CHAPTER MAP
从损益结构到 BSM 与希腊字母
15.1
期权本质
看涨看跌损益
15.2
期权类型
欧式美式·障碍
15.3
境内市场
ETF·股指·雪球
15.4
定价基础
内在·时间·平价
15.5
二叉树
复制·风险中性
15.6
BSM 模型
闭式解·IV
15.7
希腊字母
Δ Γ Θ ν ρ
15.8
交易策略
价差·跨式
15.9
实物期权
管理柔性
15.10
期权法治
适当性·穿透
学习目标LEARNING OBJECTIVES
学完本章，你应当能够
01
读懂损益图背后的权利义务结构：看涨/看跌、欧式/美式、内在价值与时间价值，以及看涨-看跌平价。
02
理解无套利复制：从二叉树到 Black-Scholes-Merton 闭式解，把握风险中性定价与美式提前行权价值。
03
掌握隐含波动率与波动率微笑、五大 Greeks 与 Delta 对冲，以及交易策略背后的方向/波动率/时间价值取舍与适当性。
15.1
期权本质
买方有权无义务，卖方有义务
15.1四种基本期权头寸的到期损益
权利义务不对称，损益非线性
看涨买方净损益
\[ \Pi=\max(0,S_T-K)-C_0 \]
看跌买方净损益
\[ \Pi=\max(0,K-S_T)-P_0 \]
买方 最大损失锁定为权利金，看涨收益理论不限
卖方 最大收益为权利金，看涨损失理论不限
例题看涨期权基础损益
以小额权利金换取非线性收益
\(S_0=50\)，买 \(K=50\) 看涨，\(C=2\)，3 月到期
| \(S_T\) | 净损益 | 收益率 |
|---|---|---|
| 50 | −2 | −100% |
| 52 | 0 | 盈亏平衡 |
| 55 | +3 | +150% |
| 60 | +8 | +400% |
| 70 | +18 | +900% |
解读
盈亏平衡点 \(=K+C=52\)，标的涨 4% 后才不亏损。突破后杠杆效应放大收益率。风险敞口小，但对应较大名义标的敞口。
15.2
期权类型
行权方式 · 标的资产 · 合约结构
15.2行权方式与合约结构
权利何时行使，决定定价方法
行权方式
欧式 只到期日（指数、外汇）
美式 任意时刻（分红股票）
百慕大 若干约定日期
美式 任意时刻（分红股票）
百慕大 若干约定日期
无股息股票：美式看涨 = 欧式看涨；美式看跌 ≥ 欧式看跌。
合约结构
标准期权 损益清晰
障碍期权 雪球核心，敲入/敲出
亚式 均价结算
回望/彩虹/二元 路径依赖或多标的
障碍期权 雪球核心，敲入/敲出
亚式 均价结算
回望/彩虹/二元 路径依赖或多标的
案例 15.1雪球结构票据敲入事件：奇异期权与投资者保护
高票息来自投资者卖出隐含下跌保护
雪球 = 敲入敲出双重障碍奇异期权。
敲出 观察日高于约定 → 提前结束付收益
敲入 跌破约定线
敲入后到期仍低 → 按公式承担下跌损失
敲出 观察日高于约定 → 提前结束付收益
敲入 跌破约定线
敲入后到期仍低 → 按公式承担下跌损失
集中敲入 指数短期连续跌破大量产品敲入线 → 投资者突然承担下跌风险，对冲同向放大波动（反身性）。
2024《私募运作指引》：雪球名义本金原则上不超基金净资产 25%。
教训：认知不足、反身性、适当性管理须严格执行。
15.3中国期权市场结构与制度演进
场内标准化扩容 ＋ 场外复杂结构穿透监管
2015.2 上证 50ETF 期权（首只场内）
2019.12 沪深 300 ETF + 股指期权宽基体系
2022 中证 500/创业板/中证 1000/上证 50
2017.3 豆粕期权（首只商品期权）
2025.10 QFI 可套保参与 ETF 期权
案例 15.22015.2 上证 50ETF 期权上市：中国期权市场的开端
距 CBOE 1973 年首推过去 42 年
2015.2.9 上交所推出，境内第一只场内期权。每张对应 10,000 份 50ETF，欧式、实物交割。首日成交 18,843 张，权利金约 0.287 亿元。
初期挑战 成交有限、价差宽，做市报价偏厚 IV 失真，投资者教育避免当彩票。
长期成果 成熟的做市、行权、保证金、投资者教育体系，境内权益期权基准品种，推动后续产品上市。
15.4
定价基础
内在价值 · 时间价值 · 看涨-看跌平价
15.4内在价值与时间价值
权利金 = 内在价值 + 时间价值
内在价值
\[ \text{看涨}=\max(S-K,0) \]
时间价值衡量等待权、波动性、持有成本。平值最高（两边变动潜力）。
随到期临近衰减，到期为零；平值衰减最快，根号时间特征 \(S\sigma\sqrt{T}\) 量级。
状态：实值 ITM · 平值 ATM · 虚值 OTM
15.4看涨-看跌平价（PCP）
独立于任何定价模型的无套利关系
组合 A 买看涨 C + 持现值 \(Ke^{-rT}\) 零息债
组合 B 买看跌 P + 持 1 单位标的 S
到期日两组合价值在任何 \(S_T\) 下都相等 → 期初必相等
欧式期权看涨-看跌平价
\[ C+Ke^{-rT}=P+S_0 \]
带股息率 \(q\)
\[ C+Ke^{-rT}=P+S_0e^{-qT} \]
三意义：独立于模型 · 已知 C 反推 P · 套利检验
15.5
二叉树定价
复制论证 → 无套利价格
15.5单步二叉树与复制组合
能否用标的+债券复制期权收益？
复制比率（Delta）
\[ \Delta=\frac{C_u-C_d}{(u-d)S_0} \]
期权价格
\[ C=e^{-r\Delta t}[pC_u+(1-p)C_d] \]
风险中性概率
\[ p=\frac{e^{r\Delta t}-d}{u-d} \]
推导未用真实概率，由无套利得到。
15.5风险中性：四层理解
为什么真实概率不出现在公式里？
① p 不是物理概率
只是定价参数，与真实上涨概率 \(q_{\text{real}}\) 无关。
② 期望增长率 = r
风险中性世界 \(E^Q[S_T]=S_0e^{r\Delta t}\)，好像不要求风险溢价。
③ 期权可被复制
复制组合成本与真实概率无关，被无套利过滤掉。
④ 鞅测度 Q
贴现资产价格 \(e^{-rt}S_t\) 是鞅；不需效用函数与风险偏好。
例题真实概率与风险中性概率
真实概率不影响期权价格
\(S_0=100\)，\(u=1.20,d=0.90\)，真实 \(q_{\text{real}}=0.70\)，\(r=4\%\)，\(K=100\)。
风险中性 \(p=\frac{e^{0.04}-0.9}{0.3}=0.4694\)，与 0.70 差 23 个百分点。
风险中性 \(p=\frac{e^{0.04}-0.9}{0.3}=0.4694\)，与 0.70 差 23 个百分点。
正确 \(C=e^{-0.04}[0.4694\times20]=\) 9.02
复制验证 \(\Delta=0.6667,B=57.65\) → 9.02 一致
复制验证 \(\Delta=0.6667,B=57.65\) → 9.02 一致
错误 用真实概率 \(=e^{-0.04}[0.70\times20]=13.45\)
若按 13.45 成交 → 卖期权 + 买复制组合锁定 +4.43
若按 13.45 成交 → 卖期权 + 买复制组合锁定 +4.43
启示：真实概率不影响价格，p 是套利约束。
例题二步二叉树看涨期权定价
从到期日倒推
\(S_0=20\)，\(u=1.10,d=0.90\)，\(r=5\%\)，\(K=20\)，2 步
\(p=\frac{e^{0.0125}-0.9}{0.2}=0.5629\)第 2 步：\(C_{uu}=4.2,C_{ud}=C_{dd}=0\)
第 1 步：\(C_u\approx2.334,C_d=0\)
第 0 步：\(C_0=e^{-0.0125}[0.5629\times2.334]\approx\) 1.30 元
\(N\to\infty\) 收敛 BSM≈1.33；优势：逐步可见、易推广美式/奇异
15.5 · 例题美式提前行权 · 二叉树
美式看跌 \(P_0\approx5.36\) vs 欧式 \(4.77\)
参数 \(S_0=50,\ K=52,\ u=1.20,\ d=0.83,\ r=5\%,\ \Delta t=0.5,\ N=2\)；\(p=\dfrac{e^{0.05\times0.5}-0.83}{1.20-0.83}=\dfrac{0.1953}{0.37}=0.5278\)
下行节点抉择 \(S_d=50\times0.83=41.5\)
立即行权 \(K-S_d=52-41.5=\mathbf{10.5}\)
继续持有 \(\approx1.01\) → 取大 \(P_d=10.5\)（提前行权更优）
立即行权 \(K-S_d=52-41.5=\mathbf{10.5}\)
继续持有 \(\approx1.01\) → 取大 \(P_d=10.5\)（提前行权更优）
美式倒推\[P_0=e^{-0.05\times0.5}\!\left[0.5278\!\times\!1.01+0.4722\!\times\!10.5\right]\]\[=0.9753\times5.49\approx\mathbf{5.36}\]
欧式对照 不允许提前行权时下节点用 \(9.22\)（非 \(10.5\)）→ \(P_0^{\text{Eu}}\approx\mathbf{4.77}\)
提前行权权利价值
\(5.36-4.77\approx\mathbf{0.59}\) 元
\(5.36-4.77\approx\mathbf{0.59}\) 元
提前行权价值在深度实值、高利率、长期限时更明显——立即获得 \(K-S\) 并将现金再投资。
二叉树相对 BSM 的优势 逐步可见，可在每个节点比较“持有 vs 行权”，自然推广到美式与奇异期权；BSM 闭式解只定价欧式。
15.6
BSM 模型
Black-Scholes-Merton 闭式解（1973）
15.6BSM 推导：从 GBM 到偏微分方程
μ 从期权定价公式中消失
① 几何布朗运动
\[ dS=\mu S\,dt+\sigma S\,dW \]
② 无风险组合（Delta 对冲）
\[ \Pi=C-\tfrac{\partial C}{\partial S}S \]
\(dW\) 被 Delta 对冲消除，\(\mu\) 也抵消 → 期权价格不依赖 μ。
③ 无套利 \(d\Pi=r\Pi\,dt\) → Black-Scholes PDE
\[ \frac{\partial C}{\partial t}+rS\frac{\partial C}{\partial S}+\frac{1}{2}\sigma^2S^2\frac{\partial^2 C}{\partial S^2}=rC \]
只含 \(r,\sigma,S\) 三参数，\(\mu\) 不出现——期权价格不依赖对涨跌的主观判断。
15.6BSM 闭式解
两个测度下计算期望并相减
欧式看涨
\[ C=S_0N(d_1)-Ke^{-rT}N(d_2) \]
欧式看跌
\[ P=Ke^{-rT}N(-d_2)-S_0N(-d_1) \]
\[ d_1=\frac{\ln(S_0/K)+(r+\sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}},\ d_2=d_1-\sigma\sqrt{T} \]
概率含义
\(N(d_2)\) 风险中性下行权概率
\(N(d_1)\) 股票测度下行权概率
\(N(d_1)\ge N(d_2)\)
\(N(d_1)\) 股票测度下行权概率
\(N(d_1)\ge N(d_2)\)
结构：期望收到标的 − 期望付出行权价。
例题BSM 定价与平价验证
平值期权价格 ≈ σ√T/2.5 倍标的
\(S_0=K=50\)，\(T=0.25\)，\(r=4\%\)，\(\sigma=30\%\)
\(d_1=0.1417,d_2=-0.0083\)\(N(d_1)=0.5563,N(d_2)=0.4967\)
\(C=50(0.5563)-49.50(0.4967)\approx\) 3.23
\(P\approx\) 2.73
PCP 验证 \(C+Ke^{-rT}=52.73\)；\(P+S_0=52.73\) ✓
快速估算 平值期权价格 ≈ \(\sigma\sqrt{T}/2.5\) 倍标的 = \(0.3\times0.5/2.5\approx6\%\)，可作数量级判断。
15.6隐含波动率与 VIX
σ 是 BSM 唯一不可观察的输入
隐含波动率 IV
给定市场价反推使 BSM = 市价的 σ。需牛顿法/二分法。
三意义：比历史波动前瞻、使不同行权价/期限可比、波动率交易核心输入。
三意义：比历史波动前瞻、使不同行权价/期限可比、波动率交易核心输入。
VIX“恐慌指数”
未来 30 天 SPX 隐含波动率的市场组合估计。>30 紧张恐慌，<15 低波动（粗略阈值）。
2008/2020 VIX 大幅上升，期权价格迅速反映尾部风险担忧。
案例 15.31987 黑色星期一与波动率微笑
BSM 对数正态严重低估尖峰肥尾
1987.10.19 道指单日跌 22.6%，史上单日最大。崩盘后深虚看跌 IV 显著高于平值。
股指偏斜 OTM 看跌 IV 高（崩盘担忧）
外汇微笑 两端 U 形
商品右偏 OTM 看涨高（供给冲击）
后果：熔断机制、随机波动率/跳跃扩散模型、投资组合保险失效。
15.6波动率微笑 · 三形态对照
隐含波动率不是水平线：BSM 之外的市场现实
① 波动率偏斜（左偏）
股票指数期权
OTM 看跌 IV 显著更高 → 为崩盘风险付保险溢价。1987 前近平坦，之后持久左偏。
② 波动率微笑（U 形）
外汇期权
两端 IV 都高于 ATM → 对双向极端波动的对冲需求。
③ 波动率右偏
能源 / 部分商品期权
OTM 看涨 IV 更高 → 对供给冲击与价格上冲的担忧。
同一缺陷的三副面孔：BSM 的对数正态假设低估尖峰肥尾，形态差异折射各市场的尾部风险结构。
15.7
希腊字母
把风险管理从经验语言变成可度量的账本
15.7泰勒展开与五大 Greeks
把价格变化拆成五个风险来源
\[ \Delta V\approx\underbrace{\Delta}_{\partial V/\partial S}\Delta S+\underbrace{\tfrac{1}{2}\Gamma}_{\partial^2 V/\partial S^2}(\Delta S)^2+\underbrace{\Theta}_{\partial V/\partial t}\Delta t+\underbrace{\nu}_{\partial V/\partial\sigma}\Delta\sigma+\underbrace{\rho}_{\partial V/\partial r}\Delta r \]
Δ Delta 方向风险（一阶 S）
Γ Gamma 凸性风险（二阶 S）
Θ Theta 时间衰减
ν Vega 波动率风险
ρ Rho 利率风险（长期限重要）
15.7Delta · Gamma · Theta
“用 Theta 买 Gamma”
Delta
看涨 \(N(d_1)\in[0,1]\)。深实值→±1，平值≈0.5。临近到期曲线变陡（Pin Risk）。可近似行权概率。
Gamma
看涨看跌相同。平值最大，临近到期急增（∝1/√T）。多头 Γ>0 凸性收益，空头 Γ<0 凹性损失。
Theta + PDE
\(\Theta+rS\Delta+\tfrac12\sigma^2S^2\Gamma=rV\)：\(\Theta\) 与 \(\tfrac12\sigma^2S^2\Gamma\) 方向相反——多头用时间损耗换凸性保护。
15.7Vega · Rho · 风险联动
Delta-Gamma-Vega 三层对冲
Vega \(=S\sqrt{T}N'(d_1)\)
平值最大，∝√T，1 年是 1 月约 3.5 倍。2018 Volmageddon：做空 VIX 期货巨亏，Vega 压力下非线性放大。
Rho
看涨>0 看跌<0，∝T。短期限不敏感；长期限 LEAPS、可转债、寿险内含期权重要。
风险联动
PDE 约束 Θ Δ Γ 不独立；Delta-Gamma 中性剩余主要是 Vega；Vega 不在 PDE 里，需波动率曲面外部处理。
例题Delta 对冲实例
涨买跌卖：Delta-Gamma 动态对冲
做市商卖 1000 张沪深 300 ETF 看涨（每张 10000 份），\(S_0=3.50\)，单份 Delta 0.55。
期权总 Delta \(=-550\) 万份 → 买入 550 万份 ETF（约 1925 万）达中性。
涨到 3.55、新 Delta 0.62 → 组合 Delta \(=-70\) 万 → 再买 70 万份恢复中性。
期权总 Delta \(=-550\) 万份 → 买入 550 万份 ETF（约 1925 万）达中性。
涨到 3.55、新 Delta 0.62 → 组合 Delta \(=-70\) 万 → 再买 70 万份恢复中性。
盈利来源：收 Θ − Γ 成本。净盈亏取决于实际波动 vs 隐含波动——做市商本质是波动率交易者。
Delta 中性只消除方向暴露，不消除大波动、跳跃、流动性、模型风险。
案例 15.4LTCM 1998 与期权波动率交易
模型内看似可控的尾部，在杠杆下变成实际损失
LTCM 高杠杆卖出长期股指期权（隐含波动率均值回归预期）。1998.8 俄罗斯卢布危机 → 全球避险，SPX/欧股 IV 急升，卖出头寸全面浮亏，经杠杆放大超净资产。1998.9 纽约联储协调接管。
三点教训
Vega 尾部远超模型，卖波动率崩盘损失急剧
杠杆、流动性、相关性三重叠加，危机相关性显著上升
σ 非常数，危机时急升让卖波动率方更大损失
15.8
交易策略
交易方向 · 交易波动率 · 交易时间价值
15.8主要期权交易策略的损益图
模块化组合，表达不同观点
价差 牛市/熊市价差、蝶式、跨期价差（锁定盈亏）
跨式/宽跨式 大波动、方向不明（财报政策前）
保护性看跌 标的 + 买看跌 = 下行保险
备兑看涨 标的 + 卖看涨 = 增权利金、放弃上行
套利 PCP 套利、箱型（合成零息债）
15.8期权策略选择 · 决策表
底层只有三类问题：方向 · 波动率 · 时间价值
| 交易诉求 | 具体观点 | 对应策略 | 盈亏特征 |
|---|---|---|---|
| 看方向 | 强烈看涨 / 看跌 | 买入看涨 / 买入看跌 | 损失锁定权利金，收益放大 |
| 温和看涨 / 看跌 | 牛市价差 / 熊市价差 | 最大收益与损失双向锁定 | |
| 看波动率 | 预期大波动、方向未明 | 跨式 / 宽跨式（做多波动率） | 需足够大单边波动才盈利 |
| 预期低波动 / 区间震荡 | 蝶式价差 / 卖出跨式 | 收敛于中间 \(K\) 时获利 | |
| 看时间价值 | 收取 Theta（时间衰减） | 跨期价差（卖近月、买远月） | 利用近月衰减更快 |
| 持仓增强现金流 | 备兑看涨（持标的、卖看涨） | 收权利金，放弃上行 | |
| 下行保险 | 保护性看跌（持标的、买看跌） | 锁定下行，付保费 |
策略名称繁多，但都在回答“看什么”——方向、波动率或时间价值；落地仍需配合适当性管理与尾部风险评估。
例题跨式策略：财报前的波动率交易
本质是做多波动率
\(S_0=100\)，买 \(K=100\) 看涨（4 元）+ 看跌（5 元），总成本 9 元。
下盈亏平衡 91，上盈亏平衡 109，\(S_T=100\) 最大损失 −9。需至少 9% 单边波动才盈亏平衡。
下盈亏平衡 91，上盈亏平衡 109，\(S_T=100\) 最大损失 −9。需至少 9% 单边波动才盈亏平衡。
隐含波动率视角
总成本 9 元 = 标的 9%，市场隐含约 9% 潜在波动。
财报后 IV 骤跌让买方常亏——即使方向判断正确，IV 回落也无法补偿权利金成本。
财报后 IV 骤跌让买方常亏——即使方向判断正确，IV 回落也无法补偿权利金成本。
15.9–10
实物期权与期权法治
管理柔性有价 · 凸性杠杆非线性如何被监管
15.9表 15.3 实物期权：把经营柔性翻译成期权语言
管理柔性可能让项目价值高于静态 NPV
| 实物期权 | 金融期权类比 | 经济直觉 |
|---|---|---|
| 等待期权 | 推迟行权的美式期权 | 不可逆时，等待新信息有价值 |
| 扩张期权 | 看涨期权 | 先试点，需求好时追加扩大规模 |
| 放弃期权 | 看跌期权 | 恶化时出售资产，截断最大损失 |
| 收缩期权 | 部分放弃期权 | 下行时缩小产能、减少固定成本 |
| 转换期权 | 交换期权 | 在原料/产品/技术路线间切换 |
三条件同时：不确定性高 · 不可逆 · 确有可执行选择权。Merton 模型：股东权益 \(=\max(V_T-D,0)\)，是以公司资产为标的、债务面值为行权价的看涨期权。
法治链接 15.1复杂结构销售与适当性
把票息翻译成看跌期权空头价值
场外期权返佣整治
穿透到最终投资者；私募、信托通道不能替代实质合格投资者审查。
韩国 KIKO 诉讼
2007–08 韩元贬值，争议在银行是否充分说明敲入敲出、杠杆倍数、极端情景损失。
雪球穿透监管
名义本金 ≤25%；适当性、双录、风险揭示、压力测试。
期权选择权对偶让零售卖期权成合规高发区。把票息作主要卖点的奇异结构通常隐含反向期权敞口——投资者可用 Greeks 独立解构。
本章小结SUMMARY
选择权有价：不对称风险的设计、定价与转移
1
买方付权利金获权利、卖方承担义务，不对称损益既能保险对冲，也能杠杆与波动率交易。
2
二叉树与 BSM 的核心是无套利复制，μ 不出现；Greeks 把风险拆成可对冲的账本。
3
期权定价不是纯公式：还涉及动态对冲、流动性、管理柔性、销售适当性、场外监管。
本章关键概念KEY CONCEPTS
复习清单
期权看涨期权看跌期权欧式期权美式期权行权价权利金内在价值时间价值看涨-看跌平价二叉树模型风险中性概率复制组合BSM 模型隐含波动率波动率微笑VIXDeltaGammaThetaVega