金融学系列教材 · 投资学 INVESTMENTS现代资本市场的价值、风险与法治
第 三 章
投资组合理论
从分散化直觉，到协方差矩阵与有效前沿
Markowitz 均值–方差框架课堂教学讲义
引子从分散化直觉到协方差矩阵
15 页论文，重塑了现代金融学
1952 年，24 岁的 Harry Markowitz 用一篇约 15 页的《投资组合选择》，把分散化直觉变成了协方差矩阵。
决定组合风险的，不是单个资产的方差，而是资产两两之间的协方差结构。当资产不完全同涨同跌，分散化才真正降低风险。
1952 Markowitz《投资组合选择》
1964 Sharpe 在其基础上提出 CAPM
1976 Bogle 把市场组合工程化
1990 Markowitz 获诺贝尔经济学奖
“风险”可以写成协方差矩阵，“分散化”成为有数学最优解的优化问题。
本章导航CHAPTER MAP
从分散化到资产配置的逻辑链
3.1
核心问题
分散化为何有效
3.2
模型假设
五个简化前提
3.3
模型推导
有效前沿·CML
3.4
模型结论
分离定理·被动投资
3.5
资管法治
资管新规·适当性
3.4三个直接结论
力量，与边界
① 相关系数
决定分散化效果——但相关性会在危机中上升。
② 两基金分离
把“选组合”与“定比例”分开——现实“市场组合”只能用指数近似。
③ 被动投资
把切点组合产品化——但不消除估值过高、跟踪误差与制度约束。
组合理论是资产配置的起点，不是所有投资问题的终点。
3.1
核心问题
把重点从“选优质资产”转向“资产之间的共同波动”
3.1分散化的本质
分散化不是“买得多”
✗ 数量幻觉
若资产同涨同跌，买 30 只股票仍可能只是买了同一种风险。
✓ 相关性才是关键
只有相关系数 \(\rho<1\)，组合方差才会低于单个资产风险的加权平均。协方差矩阵记录这种共同波动结构。
协方差矩阵把“单一判断可能失误”写进了数学结构——这正是它重要的原因。
3.1分散化的边界
相关系数，决定分散化的成效
ρ = 1
分散化无效，方差=加权平均
ρ < 1
分散化生效，方差低于加权平均
ρ < 0
削减更明显，涨跌互相抵消
ρ = −1
权重匹配时可构造零方差
分散化只削减非系统性风险，不能消除市场共同因素的系统性风险 → 第四章 CAPM、第五章 APT 的起点。
3.2
模型假设
理解这些假设，比机械套用公式更重要
3.2均值–方差模型的五个简化假设
推导清晰，源自前提简化
1
风险厌恶 同收益选低方差，同风险选高收益
2
只关心均值与方差 需二次效用或收益近似正态
3
收益近似正态 真实市场负偏厚尾 → 不能替代尾部管理
4
单期决策 不处理多期再平衡（Merton/Samuelson 拓展）
5
暂不考虑交易成本、税收、流动性与监管约束
3.3
模型推导
权重 ω 改变收益，也通过协方差矩阵改变风险
3.3推导的三个层次
一条从分散化到资产配置的逻辑链
①
风险资产内部怎么配
用权重与协方差矩阵写出组合收益与方差，求最小方差组合
②
加入无风险后怎么配
曲线选择 → 从 \(R_f\) 出发的直线选择，切点组合夏普最高
③
为何仍选不同组合
共同切点组合相同，风险厌恶 A 不同 → 配比不同
3.3组合的收益率与方差
收益是线性，风险是二次型
组合预期收益（线性）
\[ E(R_p)=\sum_{i=1}^{n}\omega_i E(R_i) \]
组合方差（二次型）
\[ \sigma_p^2=\sum_i\sum_j\omega_i\omega_j\mathrm{Cov}(R_i,R_j)=\boldsymbol{\omega}^{\top}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{\omega} \]
组合风险不仅取决于“买了什么”，还取决于这些资产如何一起波动。
例题两资产组合在不同 ρ 下的方差
ρ 越低，分散化越有效
\(\sigma_A=18\%,\sigma_B=30\%,\ \omega_A=0.6,\omega_B=0.4\) → \(\sigma_p^2=0.02606+0.02592\rho\)
ρ = 1
22.8%
=加权平均
ρ = 0.5
19.8%
ρ = 0
16.1%
ρ = −1
1.2%
ρ<1 时 \(\sigma_{p}\) 始终低于加权平均（22.8%）；ρ=−1 不自动等于零方差，需权重刚好抵消。
公式补强零方差权重 · 最优组合标准差
两个值得记住的闭式解
① ρ = −1 的零方差权重
\[ \omega_A=\frac{\sigma_B}{\sigma_A+\sigma_B} \]
当 \(\rho=-1\) 且权重按此分配时，两资产风险暴露恰好抵消，\(\sigma_p=0\)。
例 \(\sigma_A=18\%,\sigma_B=30\%\) → \(\omega_A=0.625,\;\omega_B=0.375\)。
例 \(\sigma_A=18\%,\sigma_B=30\%\) → \(\omega_A=0.625,\;\omega_B=0.375\)。
无套利：合成出的零方差组合收益必须等于 \(R_f\)，否则可无风险套利。
② CML 上的最优组合标准差
\[ \sigma_c^{*}=\frac{E(R_m)-R_f}{A\,\sigma_m} \]
由效用最大化 \(U=E(R_c)-\tfrac12 A\sigma_c^2\) 在 CML 上求导得到。\(\omega_m^{*}=\sigma_c^{*}/\sigma_m=\dfrac{E(R_m)-R_f}{A\,\sigma_m^{2}}\)。
风险厌恶 \(A\) 越大 → 切点越靠左下（更多无风险资产）；\(A\) 越小 → 进入 CML 杠杆区（\(\omega_m^{*}>1\)）。
例题两资产全局最小方差组合（GMV）手算
给定 σ、ρ，求 GMV 权重与标准差
已知 \(\sigma_A=10\%,\ \sigma_B=20\%,\ \rho_{AB}=0.2\)。求两资产组合的全局最小方差权重与 \(\sigma_{\mathrm{GMV}}\)。
两资产 GMV 闭式（对 \(\omega_A\) 求导令零）
\[ \omega_A=\frac{\sigma_B^{2}-\rho\sigma_A\sigma_B}{\sigma_A^{2}+\sigma_B^{2}-2\rho\sigma_A\sigma_B} \]
代入：协方差 \(\sigma_A\sigma_B\rho=0.10\times0.20\times0.2=0.004\)。
\(\omega_A=\dfrac{0.04-0.004}{0.01+0.04-0.008}=\dfrac{0.036}{0.042}\)。
\(\omega_A=\dfrac{0.04-0.004}{0.01+0.04-0.008}=\dfrac{0.036}{0.042}\)。
GMV 权重
ωA=85.7%
ωB=14.3%
最小方差组合标准差
σGMV ≈ 9.56%
解读：\(\sigma_{\mathrm{GMV}}=9.56\%\) 低于单独持有 A 的 10%——只要 \(\rho<1\)，分散化就能把组合风险压到任一单一资产之下。
3.3最小化方差 · 拉格朗日乘数法
给定目标收益，求最低风险
\[ \mathcal{L}=\sigma_p^2+\lambda_1\Big(\sum\omega_iE(R_i)-R^\star\Big)+\lambda_2\Big(\sum\omega_i-1\Big) \]
全局最小方差组合 GMV
\[ \boldsymbol{\omega}_{GMV}=\frac{\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{1}'\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{1}} \]
改变目标收益反复求解 → 一串最小方差组合连成有效前沿。
所有有效组合都可由两个基础组合线性组合而成。
所有有效组合都可由两个基础组合线性组合而成。
图 3.1有效前沿、CML 与无差异曲线的切点 C*
最优完全资产组合的几何
有效前沿 每一收益下方差最小的组合
GMV 左端，可行集中风险最低
CML 从 \(R_f\) 出发，切于切点组合 M
C* CML 与最高可达无差异曲线的切点
Markowitz–Tobin 两步：先选共同风险组合 M，再按个人 A 在 CML 上定 C*。
案例 3.1Markowitz 1952：投资组合理论的早期争议
一篇当时“难以归类”的博士论文
1952.3，24 岁的 Markowitz 发表约 15 页的《投资组合选择》。当时金融学还没有“用数学求解组合”的传统，发表后一段时间并未立即成为主流。
1959 年出版同名专著系统化；1964 年 Sharpe 推导出 CAPM 后，影响才迅速扩大。
1990 诺贝尔经济学奖
Markowitz
Sharpe · Miller
Sharpe · Miller
今日全球基金、ETF、养老金配置都可看作该框架的变体
3.3资本市场线 CML
曲线选择，变成直线选择
\[ E(R_c)=R_f+\frac{E(R_m)-R_f}{\sigma_m}\,\sigma_c \]
无风险资产把有效前沿曲线选择转化为一条从 \(R_f\) 出发的直线选择；与有效前沿相切的切点组合 M，是夏普比率最高的风险组合。
CML 斜率 = 风险价格
\([E(R_m)-R_f]/\sigma_m\) 即切点组合夏普比率：每承担一单位市场风险，市场补偿多少超额收益。
例题构造资本市场线
市场给出同一条 CML
\(R_f=3\%,\ E(R_m)=10\%,\ \sigma_m=18\%\)
\[ E(R_c)=0.03+0.389\,\sigma_c \]
夏普比率（风险价格）
0.39
每 1 个百分点波动 → 约 0.39 个百分点超额收益
风险价格不取决于任何单个投资者偏好——这正是“分离特性”的基础。
3.3最优完全资产组合
同一条 CML，不同人选不同点
\[ U=R_f+\frac{E(R_m)-R_f}{\sigma_m}\sigma_c-\tfrac12A\sigma_c^2 \quad\Rightarrow\quad \omega_m^{*}=\frac{E(R_m)-R_f}{A\,\sigma_m^2} \]
风险厌恶 越高 → 风险组合权重越低、无风险权重越高
\(\omega_m^{*}>1\) → 按无风险利率借入资金加杠杆持有切点组合
最优解给出的不是“持有还是不持有”，而是“持有多少、是否借入”——杠杆 ETF、保证金账户的理论基础。
例题不同风险厌恶系数 A 下的最优配置
持有多少 · 是否借入
保守型 A = 4
\(\omega_m^{*}=\frac{0.07}{4\times0.18^2}\approx0.54\)
54% 切点组合 + 46% 无风险
收益 6.8%，波动 9.7%
54% 切点组合 + 46% 无风险
收益 6.8%，波动 9.7%
激进型 A = 2
\(\omega_m^{*}\approx1.08\)
借入 8% 无风险，加杠杆 108%
收益 10.6%，波动 19.4%
借入 8% 无风险，加杠杆 108%
收益 10.6%，波动 19.4%
现实中融资利率、保证金比例与监管约束，会使最优杠杆低于简化模型结果。
3.4
模型结论
相关系数 · 两基金分离定理 · 被动投资
图 3.2不同相关系数下两资产组合的可行集
相关性不是常数，危机中会上升
ρ 从 1 到 −1，可行集从直线退化到可能出现“零方差”端点。
2022 通胀冲击：股票与长期国债同跌，60/40 罕见年度回撤——危机中相关性上升。
引入大宗商品、私募、不动产、基础设施 → 更多不同来源的风险溢价。
案例 3.2永久组合：不预测宏观的资产配置
四类环境，各留一项可能受益的资产
25%
股票
繁荣 · 盈利增长
25%
长期国债
通缩 · 衰退 · 降息
25%
现金/短债
紧缩 · 流动性危机
25%
黄金
高通胀 · 货币信用冲击
1972–2024 年均约 6.8%、波动约 7.5%、最大回撤约 −12.7%——用较低波动换更强的可持有性。
案例 3.3耶鲁基金：David Swensen 的另类资产配置
把分散化，扩展到传统股债之外
1985 年 Swensen（Tobin 门生）出任耶鲁投资办公室 CIO，基金规模约 13 亿美元。1990 年代起大幅降低传统股债，增加私募股权、绝对收益、不动产、自然资源、海外资产。
“另类资产 + 不流动性溢价 + 长期治理结构”可以共同进入组合优化框架，而非停留在“股票加债券”的二分法。
“耶鲁模式”
长期投资 · 另类资产 · 不流动性溢价。
以更长锁定期，换取潜在风险溢价与低相关性来源——Markowitz 协方差矩阵的机构落地。
以更长锁定期，换取潜在风险溢价与低相关性来源——Markowitz 协方差矩阵的机构落地。
3.4两基金分离定理
先选共同风险组合，再定个人配比
第一步 · 构建切点组合
同一组资产 → 同一个最高夏普风险组合（均衡中即市场组合），不涉及个人偏好
第二步 · 决定配比
按风险偏好在切点组合与无风险资产之间分配，甚至加杠杆
切点组合权重
\[ \boldsymbol{\omega}_M=\frac{\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{\mu}-R_f\boldsymbol{1})}{\boldsymbol{1}'\boldsymbol{\Sigma}^{-1}(\boldsymbol{\mu}-R_f\boldsymbol{1})} \]
不是“收益最高的一篮子”，而是单位风险补偿最高的风险组合。
3.4被动投资
把分离特性，变成可买卖的产品
若市场组合已是最高夏普风险组合，低成本跟踪指数就有了清楚的理论基础。
优势不在预测更准，而在费用低、换手少、透明度高，减少选股与择时的主观误差。低成本本身就是长期复利的一部分。
2004 起步
华夏上证 50 ETF
2025 末 境内 ETF
1 381 只 · 6.02 万亿
股票 ETF 3.83 万亿
案例 3.4 · 图 3.3桥水全天候组合：风险平价
从“权重相等”到“风险贡献相等”
股债 60/40 在风险口径下其实是偏权益组合。
风险平价：让各资产对组合方差贡献均衡——\(\boldsymbol{\omega}^{\top}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{\omega}\) 的“二阶应用”。
2022 股债同跌，暴露“低相关性失灵”的固有风险。
3.5
资管法治
“理论最优组合”如何被重塑为“合规可行组合”
3.5 · 资管新规（2018.4）
让波动，真正回到投资者账户
打破刚兑
净值化管理，不得承诺保本保收益
穿透计量
多层嵌套按底层资产穿透识别
规范非标
期限匹配、限额管理、信息披露
2022.11 债市调整中理财净值跌破 1.0 → 承担市场风险的资产终究会波动，刚兑只是把风险转移到机构资产负债表。
3.5公募 / 私募 / 信托的法律边界
同一组权重，不同的法律外壳
公募基金
《证券投资基金法》
面向公众募集
双 10% 规则：分散化的法律强化
面向公众募集
双 10% 规则：分散化的法律强化
私募基金
《私募投资基金监督管理条例》
合格投资者：金融资产≥300万 / 年均收入≥50万，投单只≥100万
可投未上市股权、衍生品
合格投资者：金融资产≥300万 / 年均收入≥50万，投单只≥100万
可投未上市股权、衍生品
信托
《信托法》
可投范围最广
2018 新规后回归本源，通道业务基本被堵
可投范围最广
2018 新规后回归本源，通道业务基本被堵
每种外壳的合规成本、流动性、税收、受托人义务不同——是 Markowitz 模型在现实中的必要扩展。
3.5投资者适当性与组合匹配
把数学最优解，翻译为法律可行解
适当性原则把效用函数中的风险厌恶系数 A，对应到客户标签 C1–C5 与产品标签 R1–R5。
它在效用最大化求解 \(\omega_m^{*}\) 之外，叠加了一层法律可行集约束。
它在效用最大化求解 \(\omega_m^{*}\) 之外，叠加了一层法律可行集约束。
无约束最优
\(\omega_m^{*}\)
↓ + 适当性
法律可行解
C ↔ R 匹配
案例 3.5沪深 300 与中证 500：A 股的“伪分散化”
多元化的关键是相关性，不是品种数量
伪分散：沪深300 + 中证500
ρ≈0.82，50/50 组合 σ≈22.7%
对比加权平均 23.75%，仅降约 1.1 个百分点
对比加权平均 23.75%，仅降约 1.1 个百分点
有效分散：50% A股 + 50% 美股
ρ=0.4，σ≈15.6%
比单一沪深300 还低约 5 个百分点
比单一沪深300 还低约 5 个百分点
跨境通道（QDII · QDLP · 跨境理财通 · 互联互通）= 在 Σ 矩阵中“添加低相关资产”的制度入口。
3.5跨境组合：分散化的制度通道
每条通道，都是 Σ 矩阵的一个入口
QDII · 合格境内机构投资者
2007 起，以外汇额度投资境外证券
QFII / RQFII
境外机构投资 A 股
QDLP · 合格境内有限合伙人
境内私募架构投境外二级市场 / 对冲基金
互联互通 · “五通”
沪港通 · 深港通 · 债券通 · 互换通 · 跨境理财通
通道规模相对资管总规模仍有限，但作为“分散化通道”的边际作用很重要——让 Σ 有更多低相关资产可选。
法治链接 3.1资管新规、净值化与组合理论的中国落地
把 Markowitz 假设，翻译为本土合规规则
① σ 显性化
净值化让波动回到账户，是框架在零售市场可适用的法律前提。
② 合格投资者
门槛是 A 与产品风险等级实质匹配的法律对应物；金融资产≥300万非充分条件。
③ 跨境通道额度
QDII / QDLP / 理财通直接决定 Σ 中低相关资产的可选集合。
公式 \(\boldsymbol{\omega}^{\top}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{\omega}\) 须叠加“双10% · 标品化 · 杠杆上限 · 通道额度”四重约束，才转化为现实可执行的最优组合。
本章小结SUMMARY
把分散化直觉，改写成组合问题
协方差决定风险
单个资产风险不能孤立理解；权重、协方差矩阵、有效前沿。
分离特性
先选共同切点组合，再按 A 定配比 → 指数化的理论根基。
可行边界
净值化、双10%、合格投资者、跨境通道重塑“理论最优组合”。
本章关键概念KEY CONCEPTS
复习清单
分散化
协方差 / 相关系数
均值–方差模型
有效前沿
全局最小方差组合 GMV
资本配置线 CAL
资本市场线 CML
切点组合 / 市场组合
夏普比率
风险厌恶系数
两基金分离定理
分离特性
被动投资
风险平价
资管新规
法律可行集
投资者适当性
本章习题 · 一、单选题含参考答案
概念辨析
1. Markowitz 理论的核心洞察是（ ）。
A. 高收益必然高风险
B. 组合风险由协方差矩阵决定，而非各资产方差简单加权 ✓
C. 分散化无法降低系统性风险 D. 最优组合永远 100% 股票
B. 组合风险由协方差矩阵决定，而非各资产方差简单加权 ✓
C. 分散化无法降低系统性风险 D. 最优组合永远 100% 股票
8. CML 的斜率代表（ ）。
A. 投资者风险厌恶系数 B. 切点组合预期收益
C. 切点组合的夏普比率（均衡中即市场风险价格） ✓
D. 切点组合方差
C. 切点组合的夏普比率（均衡中即市场风险价格） ✓
D. 切点组合方差
11. 关于“分离特性”，正确的是（ ）。
A. 不同投资者选不同切点组合 B. 偏好仅在切点组合内部权重体现
C. 都持相同风险组合，差异在无风险配比 ✓
D. 意味着主动优于被动
C. 都持相同风险组合，差异在无风险配比 ✓
D. 意味着主动优于被动
13. 2018 资管新规核心要求不包括（ ）。
A. 打破刚性兑付 B. 净值化运作 C. 穿透计量
D. 全部以国债收益率作业绩比较基准 ✓
D. 全部以国债收益率作业绩比较基准 ✓
解析：风险由 \(\boldsymbol{\omega}^{\top}\boldsymbol{\Sigma}\boldsymbol{\omega}\) 决定；CML 斜率即夏普比率；分离特性使所有人持同一风险组合。
本章习题 · 三、计算题含解答
两资产组合的收益与风险
题：资产 A：\(E(R){=}8\%,\sigma{=}12\%\)；资产 B：\(E(R){=}12\%,\sigma{=}20\%\)；\(\rho{=}0.3\)。权重 A 40%、B 60%。求组合预期收益与标准差。
① 预期收益
\(E(R_p)=0.4\times8\%+0.6\times12\%\)
= 10.4%
= 10.4%
② 标准差
\(\sigma_p^2=0.4^2(0.12)^2+0.6^2(0.20)^2\)
\(\quad+2(0.4)(0.6)(0.3)(0.12)(0.20)\)
\(=0.002304+0.0144+0.003456=0.02016\)
\(\sigma_{p} \approx 14.2\%\)
\(\quad+2(0.4)(0.6)(0.3)(0.12)(0.20)\)
\(=0.002304+0.0144+0.003456=0.02016\)
\(\sigma_{p} \approx 14.2\%\)
③ ρ 下降
\(\rho=0 \to \sigma_{p}\approx 13.0\%\)
ρ=−\(1 \to \sigma_{p}\) 可更低
ρ 越低，分散越有效
ρ=−\(1 \to \sigma_{p}\) 可更低
ρ 越低，分散越有效
\(\sigma_{p}\)（14.2%）< 加权平均（0.4×12+0.6×20=16.8%）——分散化收益的直接体现。
本章习题 · 四、案例分析 & 五、延伸阅读
课后作业与拓展
案例分析（任选其一）
3A 35 岁中产投资者的退休组合设计：相关性结构与跨境分散
3B 风险平价的压力测试：全天候 FOF 与 2022 股债同跌
延伸阅读（精选）
Markowitz (1952) Portfolio Selection
Tobin (1958) 分离定理
Black & Litterman (1992) Global Portfolio Optimization
Swensen (2009) Pioneering Portfolio Management
四部门 (2018)《资管新规》
3核心公式与推导
本章核心公式与推导（一）
Markowitz 均值-方差框架给出有效前沿；引入无风险资产后，最优风险组合为切点组合，投资者沿资本配置线调节杠杆。
\[ E(R_p) = \sum_{i=1}^{n} \omega_i E(R_i) \]
\[ \sigma_p^{2} = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n} \omega_i \omega_j \,\mathrm{Cov}(R_i, R_j) = \boldsymbol{\omega}^{\top}\,\boldsymbol{\Sigma}\,\boldsymbol{\omega} \]
\[ \sigma_p^{2} = 0.6^{2}\times 0.18^{2} + 0.4^{2}\times 0.30^{2} + 2\times 0.6\times 0.4\times \rho\times 0.18\times 0.30 \]
\[ = 0.01166 + 0.01440 + 0.02592\rho \]
\[ = 0.02606 + 0.02592\rho \]
\[ \min_{\boldsymbol{\omega}}\;\sigma_p^{2} = \sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}\omega_i \omega_j \,\mathrm{Cov}(R_i, R_j) \]
3核心公式与推导
本章核心公式与推导（二）
本章核心公式与推导（续）。
\[ \begin{aligned} \mathcal{L}(\boldsymbol{\omega},\lambda_1,\lambda_2) &= \sigma_p^{2} + \lambda_1\!\left(\sum_{i=1}^{n}\omega_i E(R_i) - R^{\star}\right)\\ & \quad + \lambda_2\!\left(\sum_{i=1}^{n}\omega_i - 1\right). \end{aligned} \]
\[ \boldsymbol{\omega}_{\mathrm{GMV}} =\frac{\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{1}}{\boldsymbol{1}'\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{1}}, \quad E(R_{\mathrm{GMV}})=\frac{B_0}{A_0}, \quad \sigma^2_{\mathrm{GMV}}=\frac{1}{A_0} \]
\[ \boldsymbol{\omega}(R^\star) =\frac{C_0-B_0R^\star}{D_0}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{1} +\frac{A_0R^\star-B_0}{D_0}\boldsymbol{\Sigma}^{-1}\boldsymbol{\mu} \]
\[ \max_{\boldsymbol{\omega}}\;\frac{E(R_p) - R_f}{\sigma_p} \quad \text{s.t.}\;\sum_i \omega_i = 1 \]
\[ E(R_c) = \omega_f R_f + \omega_m E(R_m) \]
\[ \sigma_c = \omega_m \sigma_m \]