金融学系列教材 · 投资学 INVESTMENTS现代资本市场的价值、风险与法治
第 二 章
收益与风险
收益回答“赚了多少”，风险回答“可能偏离多少”
把“风险”从直觉变成数学课堂教学讲义
引子把“风险”从直觉变成数学
四次突破，把风险变成可计算的对象
1952
Markowitz
方差/协方差严谨化分散化
1964
Sharpe
用 β 定义系统性风险
1973
Black-Scholes-Merton
把波动率嵌入期权定价
1990s
RiskMetrics
把市场风险压成每日 VaR
结果：风险从主观经验，变为可度量、可分散、可转移、可定价的数学对象。
本章导航CHAPTER MAP
能赚多少 · 可能亏多少 · 是否承受得起
2.1
计算收益
HPR·IRR·算术/几何·实际收益
2.2
衡量风险
σ·β·VaR·ES·回撤·夏普
2.3
分布函数
正态·峰度·偏度·对数正态
2.4
风险偏好
效用函数·确定性等价·凯利
2.5
智能风控
机器学习·可解释AI·RegTech
2.6
风险法治
巴塞尔III·适当性·算法监管
核心框架同一张坐标系
风险补偿原则，常被误读
✗ 误读
“风险越大，收益必然越高。”
✓ 准确
投资者只有在预期能获得补偿时，才愿承担额外风险；已暴露却得不到补偿的风险，应通过分散、对冲或放弃处理。
股票长期预期收益高于存款，不是因为“更刺激”，而是股东排在债权人之后承担波动，须用更高预期回报吸引资本。
2.1
计算收益
分母、时间长度、现金流时点一旦选错，结论就会偏离投资本身
2.1名义利率与实际收益率 · 费雪公式
账户多了多少 ≠ 购买力多了多少
\[ r_{real}=\frac{1+r_{nom}}{1+\pi}-1 \;\approx\; r_{nom}-\pi \]
名义 5% · 通胀 3%
\(1.05/1.03-1\)
≈ 1.94%
而非简单的 2%
借款名义 5% · 通胀 6%
\(1.05/1.06-1\)
≈ −0.94%
通胀改变真实负担
中国 2002–2024 CPI 年均约 2.3%；长期把钱存定存，实际购买力年均增长几乎为零。
2.1简单收益率 · 单利与复利
差别来自“利息生利息”
单利
\[ P_T=P_0(1+r_s T) \]
10 000 × (1+0.05×3) = 11 500
复利
\[ P_T=P_0(1+r)^T \]
10 000 × 1.05³ = 11 576.25
一年复利 m 次：\(P_T=P_0\left(1+\tfrac{r^{(m)}}{m}\right)^{mT}\)。短期限、低利率差别不大；长期投资、债券与衍生品定价中被时间放大。
案例 2.1负债 10 万与存款 10 万：差距不只是 20 万
先确认资产负债表，让复利站在自己这一边
①
净资产
资产负债表相差 20 万元
②
利息方向
负债=反向复利，复利站到对立面
③
现金流约束
负债者更易被迫卖出、错过机会
④
风险承受力
同一笔投资，含义完全不同
并非所有负债都应避免：危险的是用高成本、短期限、不可展期的债务去买消费品或高波动资产。
2.1年化收益率（几何年化）
同样的“30%”，期限不同天差地别
\[ r_{ann}=\left(\frac{P_T}{P_0}\right)^{1/n}-1 \]
6 个月赚 30%
年化 69%
\((1.30)^2-1\)，非 60%
3 年赚 30%（10 000→13 000）
年化 9.1%
5 年赚 30%
年化 5.4%
媒体常混淆累计收益与年化收益——读业绩前，先确认口径。
2.1连续复利 · 持有期收益 HPR · 内部收益率 IRR
三种回答不同问题的口径
连续复利 / 对数收益
\[ P_T=P_0e^{r_cT} \]
\(r_c=\tfrac1T\ln\tfrac{P_T}{P_0}\)。一年赚 10% → 连续口径 ≈9.53%。
持有期收益 HPR
\[ \mathrm{HPR}=\frac{P_T+D-P_0}{P_0} \]
把价格变动与持有期收入 D 放同一分子，避免漏掉股息。
内部收益率 IRR
\[ \sum_{t=0}^{n}\frac{c_t}{(1+r)^t}=0 \]
现金流隐含年化回报；正负交替时可能多解。
2.1算术平均 vs 几何平均
“波动率拖累”：控制波动 = 保护复利
算术平均
\[ \bar r_{AM}=\frac{1}{n}\sum r_t \]
5%,10%,15% → 10%。估“下一期预期”。
几何平均
\[ \bar r_{GM}=\Big(\prod(1+r_t)\Big)^{1/n}-1 \]
同序列 → 9.92%。刻画长期复利。
\[ \bar r_{GM}\approx \bar r_{AM}-\frac{\sigma^2}{2}\quad\Rightarrow\quad \text{波动越大，长期累积财富差距越大} \]
实战例题TWR 与 MWR：基民收益为何不同于基金收益
同一只基金，两个收益率
净值：+25% → −20% → +30%。投资者甲年初投 10 万，第二年初大涨后追加 50 万，第三年末赎回。
TWR：\([(1.25)(0.8)(1.3)]^{1/3}-1\approx 9.14\%\)
MWR（解 IRR）：\(\approx 3.8\%\)
MWR（解 IRR）：\(\approx 3.8\%\)
基金 TWR（评管理人）
9.14%
基民 MWR（追高时点）
3.8%
Morningstar《Mind the Gap》：美股基民 MWR 长期低于基金 TWR，差距约 1 个百分点，源自“高位申购、低位赎回”。
2.2
衡量风险
先明确：是“波动多大”“跟市场多同步”，还是“极端会亏多少”
2.2风险指标地图
选指标之前，先问要回答什么
标准差 / 方差
围绕均值的总波动
相关系数 / 协方差
服务于分散化
贝塔 β
系统性风险暴露
下行风险 / 最大回撤
投资者“痛感”
VaR / ES·CVaR
尾部损失边界与深度
夏普 / Sortino…
把收益放回风险中评价
2.2标准差与方差
波动的典型幅度，而非“预计亏损”
\[ \sigma=\sqrt{\frac{\sum_{t=1}^{n}(r_t-\bar r)^2}{n-1}} \qquad (\text{除 }n-1\text{：自由度调整}) \]
5 年收益 5%,10%,−2%,7%,3% → \(\bar r=4.6\%\)，\(\sigma\approx4.51\%\)。
这是围绕 4.6% 上下波动的典型幅度，不是“预计亏 4.51%”。
这是围绕 4.6% 上下波动的典型幅度，不是“预计亏 4.51%”。
正态下的 68–95–99.7 法则
\(\pm1\sigma\) → 约 68%
\(\pm2\sigma\) → 约 95%
\(\pm3\sigma\) → 约 99.7%
\(\pm2\sigma\) → 约 95%
\(\pm3\sigma\) → 约 99.7%
图 2.1沪深 300 指数年度收益分布（2005–2024）
真实收益分布往往“尖峰肥尾”
多数年份围绕均值波动，2007 大涨、2008 大跌显著拉宽尾部。
几何年化因波动拖累低于算术均值。
机械套用正态，会低估极端年份的发生概率。
2.2年化波动率换算与“波动聚集”修正
√T 法则的强假设与失效
\[ \sigma_{year}=\sigma_{day}\sqrt{252} \qquad (\text{依赖 i.i.d.、方差稳定、无跳跃}) \]
沪深300 日波动 1.20% · √T 法则
≈ 19.05%
GARCH(1,1) 估计（含波动聚集）
≈ 22.3%
高出约 17%
波动聚集存在时，√T 法则可能系统性低估年化风险与尾部损失——2015 股灾即极端体现。
案例 2.22015 年 A 股股灾：当杠杆遇上肥尾
常态波动不是危机损失的上限
2015.6.12 上证见顶 5 178 点，两融余额突破 2.27 万亿，场外配资杠杆达 5–10 倍。
6.15 起“下跌→强平→再下跌”连锁螺旋，到 8.26 最大累计跌幅约 45%，多次出现正态难解释的极端日内波动。
① 杠杆要事前约束，不能只事后处置
② 流动性枯竭让分散头寸同时承压
③ 常态 VaR / 夏普 ≠ 危机可承受损失
这正是要把波动聚集、厚尾分布、VaR/ES 一起讲清楚的原因。
2.2相关系数 · 协方差 · 贝塔
分散化的数学，与系统性风险
相关系数
\[ \rho=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\sigma_Y} \]
分散不是买很多资产，而是买收益来源不同步的资产。两股 ρ=0.8 → 分散有限。
贝塔 β
\[ \beta=\frac{\mathrm{Cov}(r_i,r_m)}{\sigma_m^2} \]
系统性敏感度。\(\beta{=}1\) 同步；\(\beta{>}1\) 放大；\(\beta{<}1\) 不敏感。β 随窗口与周期变化，非固定标签。
例：沪深300与中证500 月度 ρ≈0.82、\(\beta_{500\to300}\approx1.06\) → 简单组合分散效果有限。
2.2 · 图 2.2下行风险与在险价值 VaR
投资者真正害怕的是亏损、回撤、不能变现
半方差 / 下行偏差：只罚低于基准的负偏离（Sortino 分母）
最大回撤 MDD：从历史高点的最深跌幅（行为痛感、硬约束）
\[ \mathrm{VaR}^{loss}_{\alpha}=z_{1-\alpha}\sigma-\mu \]
本书约定：\(\alpha\) 为尾部概率（如 5%），置信水平 \(=1-\alpha=95\%\)，故 \(z_{1-\alpha}=z_{0.95}\approx1.645\)。
VaR 三缺陷：非一致风险度量 · 不刻画尾部深度 · 对分布假设极敏感
实战例题1 亿元股票组合的风险敞口（日 σ=2%）
VaR 是“边界”，ES 是“越界后的平均深度”
95% 单日 VaR
329 万
\(1.645\times2\%\times1\text{亿}\)
95% ES / CVaR
≈ 412 万
最坏 5% 内的平均损失（多约 25%）
10 日 VaR（√10）
≈ 1 040 万
2015 实际 10 日 −21%，超模型
“95% VaR”≠“最坏只亏 329 万”；它只是“95% 概率下不超过的边界”。FRTB 采用 97.5% ES。
公式补强下行风险的两个显式封闭解
半方差与 ES 的封闭公式
半方差（分母取 n）
\[ \mathrm{SemiVar}=\frac{\sum_{t=1}^{n}\big[\max(0,\bar r-r_t)\big]^2}{n} \]
只计入跌破基准 \(\bar r\) 的“负偏差”。分母取 \(n\)：把未跌破基准的观测作 0 偏差一并纳入平均；若只对跌破观测求平均，数值更大，须注明口径。
5 年收益 5%,10%,−2%,7%,3%（\(\bar r=4.6\%\)）→ SemiVar=0.0009224，下行标准差 ≈ 3.04%。
5 年收益 5%,10%,−2%,7%,3%（\(\bar r=4.6\%\)）→ SemiVar=0.0009224，下行标准差 ≈ 3.04%。
ES / ETL 正态封闭解
\[ \mathrm{ETL}_\alpha=\mu_L+\sigma\,\frac{\phi(z_{1-\alpha})}{\alpha} \]
越过 VaR 边界后的平均损失。损失 \(L\sim N(\mu_L,\sigma^2)\) 时成立；\(\phi\) 为标准正态密度，\(\alpha\) 为尾部概率。
例：\(\mu_L=0,\sigma=10\) 万，95% → VaR=16.45 万，ETL ≈ 20.6 万。
例：\(\mu_L=0,\sigma=10\) 万，95% → VaR=16.45 万，ETL ≈ 20.6 万。
易错警示：ES ≈ 1.25 × VaR 只是 95% 正态分布下的特例（\(\phi(z_{.95})/0.05\div z_{.95}\approx1.25\)）。一旦收益厚尾，ES 相对 VaR 的倍数会显著更大——这正是巴塞尔 III FRTB 用 ES 取代 VaR 的动因。
案例 2.3LTCM 1998：模型、杠杆与流动性风险
诺奖团队 + 精密模型，仍败于尾部
团队含 1997 诺奖得主 Scholes、Merton。策略在全球债市捕捉极小相对价值价差，用高杠杆放大。
1998.8 俄罗斯危机引发同步流动性枯竭，一个月净资产从约 47 亿跌到不足 10 亿美元；纽约联储组织约 36.25 亿美元救助。
① 正态分布低估尾部风险
② 危机中相关性突然趋同
③ 杠杆使策略对流动性冲击脆弱
④ 历史协方差未必描绘下一次危机
2.2夏普比率
这份收益，是否值得这些波动？
\[ \mathrm{SR}=\frac{\bar r-r_f}{\sigma}\qquad \frac{0.08-0.02}{0.10}=0.60 \]
< 0.5
往往偏弱
0.5–1.0
有一定吸引力
1.0–2.0
已较少见
> 2.0
警惕未识别尾部风险
对“极高夏普”策略须先问口径：扣费前后？自营还是外部可得？是否有容量/流动性约束、尾部卖保险暴露？
表 2.1主要风险调整后收益指标
它们到底在惩罚哪一种风险？
| 指标 | 公式 | 风险度量 | 适用 / 局限 |
|---|---|---|---|
| 夏普 | \((\bar r-r_f)/\sigma\) | 总标准差 | 跨资产比较 / 不分系统与非系统 |
| Sortino | \((\bar r-r_f)/\sigma_{下行}\) | 下行标准差 | 强调下行 / 阈值敏感 |
| Treynor | \((\bar r-r_f)/\beta\) | 系统性风险 | 充分分散组合 / 非分散不适用 |
| Jensen α | \(\bar r-[r_f+\beta(r_m-r_f)]\) | CAPM 残差 | 度量主动能力 / 依赖 CAPM |
| 信息比率 | \((\bar r-\bar r_b)/\sigma(r-r_b)\) | 跟踪误差 | 主动对基准 / 基准敏感 |
| Calmar | \(\bar r/|\mathrm{MDD}|\) | 最大回撤 | 趋势/CTA / 仅看历史最差点 |
实务通常组合使用：单一数字很少能完整描述一个资产的风险面貌。
实战例题三个产品的夏普比率比较
收益率最高的 B，并不是最好的产品
基金 A · 蓝筹
收益 12% · 波动 18%
0.56
基金 B · 行业轮动
收益 25% · 波动 38%
0.61
基金 C · 绝对收益
收益 8% · 波动 6%
1.00
但若 C 是“日常小赚、偶尔大亏”（卖期权），历史夏普高而 CVaR/最大回撤可能远超 A、B → 须综合判断。
2.3
分布函数
真实分布若厚尾偏斜，模型就会系统性低估危机概率
图 2.4收益率的正态分布近似
钟形曲线的便利，与它的盲区
\[ f(r)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{(r-\mu)^2}{2\sigma^2}} \]
优点：以 μ 对称、可用 σ 翻译成概率区间。
黑色星期一(1987)：单日 −22.6% ≈ 22σ，正态概率 \(<10^{-100}\)，却真实发生。
2.3峰度与偏度
为什么金融分布是“尖峰肥尾”
峰度（超额）
\[ \frac{\sum(r_t-\mu)^4}{n\sigma^4}-3 \]
>0：更尖峰厚尾，极端收益更常见。金融资产常见正超额峰度。
偏度
\[ \frac{\sum(r_t-\mu)^3}{n\sigma^3} \]
<0：左尾更长，大亏更常见。卖期权、信用套利、高杠杆常具负偏度。
“正峰度 + 负偏度”很常见 → 极端负收益概率高于正态预测 = 厚尾风险。
2.3资产价格的对数正态分布
价格不为负，右尾可以很长
\[ \ln(S_T/S_0)\sim N(\mu_\ell,\sigma_\ell^2)\;\Rightarrow\; S_T \text{ 服从对数正态},\; S_T>0 \]
① 下界为零
符合股票、商品价格不能为负
② 分布右偏
少数资产长期复利上涨多倍
③ 可跨期相加
数学方便 → Black-Scholes 基础
2.4
风险偏好
用效用函数 U(W) 刻画财富带来的主观满足与边际效用递减
图 2.5不同风险偏好者的效用函数
凹 / 线性 / 凸，三种风险态度
风险厌恶 凹 \(U''<0\)，拒绝公平赌博
风险中性 线性，只看期望值
风险偏好 凸 \(U''>0\)，偏爱赌博
\[ U=E(r)-\tfrac{A}{2}\sigma^2 \]
确定性等价 \(r_{CE}=E(r)-\tfrac A2\sigma^2\)
表 2.2常见效用函数族及其经济含义
不同效用，不同风险厌恶结构
| 类型 | 函数形式 | 风险厌恶特征 | 适用场景 |
|---|---|---|---|
| 二次型 | \(U=W-\tfrac a2W^2\) | IARA（递增） | Markowitz 框架 |
| 对数 | \(U=\ln W\) | CRRA = 1 | Kelly 准则 |
| 幂效用 CRRA | \(U=W^{1-\gamma}/(1-\gamma)\) | CRRA = γ | 长期资产配置 |
| 指数 CARA | \(U=-e^{-aW}\) | CARA | 简化均衡分析 |
| 前景理论 | 见第七章 | 损失厌恶 | 行为金融 |
Arrow–Pratt 绝对风险厌恶：\(A_a(W)=-U''(W)/U'(W)\)。
实战例题二次效用与风险厌恶系数 A 的力量
A 从 4 降到 1，最优选择就翻转
P：\(E(r){=}8\%,\sigma{=}10\%\) Q：\(E(r){=}12\%,\sigma{=}25\%\)
保守型 A=4
\(U_P=0.08-2\times0.01=6\%\)
\(U_Q=0.12-2\times0.0625=-0.5\%\)
\(U_Q=0.12-2\times0.0625=-0.5\%\)
→ 选 P
激进型 A=1
\(U_P=0.08-0.005=7.5\%\)
\(U_Q=0.12-0.031=8.875\%\)
\(U_Q=0.12-0.031=8.875\%\)
→ 选 Q
这正是投资者适当性管理长期是监管重点的原因：把“风险偏好”变成可操作、可留痕、可复核的流程。
2.4凯利公式：长期复利最大化的仓位
正期望机会，并不意味着满仓
最大化期望对数财富增长率
\[ G(f)=p\ln(1+bf)+q\ln(1-f) \]
\[ f^{*}=\frac{pb-q}{b} \]
p=60%, b=1
f* = 20%
完整凯利偏激进；实务常用半凯利 / 四分之一凯利，降低估计误差导致的过度杠杆。
仓位管理同一组参数：\(p=60\%,\;b=1\Rightarrow f^*=20\%\)
满凯利 vs 半凯利：少赚一点，平稳很多
| 方案 | 下注比例 f | 每注期望对数增长 | 相对长期增长 | 仓位波动 / 回撤 |
|---|---|---|---|---|
| 满凯利 | 20% | 0.0201 | 100%（最大） | 高（基准） |
| 半凯利 | 10% | 0.0150 | ≈ 75% | ≈ 减半 |
仓位减半，长期增长率只损失约 1/4——增长曲线在 \(f^*\) 附近是平顶（一阶导为零），但波动与回撤近似线性减小。
现实中 \(p\)、\(b\) 难以精确估计，过满会被估计误差放大成过度杠杆。半凯利用“少赚一点”换“更稳健、抗误差”，这正是实务偏好它的原因。
案例 2.4余额宝十余年（2013–2024）：复利与实际收益率
低风险资产的“实际收益”可能为负
7 日年化从 2013 年的 6–7% 一路下行至 2024 年约 1.5%。叠加同期 CPI，扣通胀后实际收益约在 −0.5%~+1.5%，年均约 0.8%。
1 万元放十余年，名义约 1.30–1.35 万，购买力仅约 2013 年的 1.05–1.10 倍；同期沪深300全收益年化约 7%、扣通胀约 5%。
真正的启示
安全性、流动性是货币基金的核心价值，应急储备不可替代。但要分清资金属于流动性 / 保值 / 增值需求，分层配置。
呼应第一章“投资目标三要素”：安全性 · 收益性 · 流动性。
2.5
智能风控
技术线看见非线性风险，责任线守住可解释与可问责
2.5机器学习方法在风险度量中的应用
处理传统线性模型看不见的风险
| 方法 | 典型应用 | 优势 | 主要风险 |
|---|---|---|---|
| 随机森林 / GBDT | 违约预测、VaR 分位点 | 鲁棒、可处理缺失 | 过拟合、外推差 |
| SVR 核方法 | 中样本非线性回归 | 凸优化稳定 | 计算复杂度高 |
| LSTM / GRU | 波动率预测、序列异常 | 捕捉长依赖 | 数据需求大 |
| Transformer 多模态 | 全市场风险监测 | 跨模态融合 | 解释性弱、成本高 |
| 大语言模型 | 财报与政策文本因子 | 零样本、抽取能力强 | 事实性错误、合规边界 |
SHAP / LIME 提供可解释性；RegTech 用算法处理监管报送、反洗钱与市场监控。预测能力只是第一步，数据质量、可解释、人工复核、合规决定能否进入风控流程。
2.5A 股量化与“同质化”风险
降低单模型误差，却可能放大拥挤交易
2024 年 2 月小微盘股流动性危机：当多家机构使用相似因子库、止损规则、换手节奏时——
单家机构的风控动作，会在市场层面叠加成同向交易压力。
风险预测精细化 日频/日内/压力情景
风险因子语义化 政策/舆情/跨境合规→可复核因子
监管协同化 倒逼策略设计阶段考虑合规边界
2.6
风险法治
风险度量可问责——模型必须解释得清楚、承担得起责任
2.6 · 巴塞尔协议从 VaR 到 ES
监管把“VaR 不一致”写进了规则
I · 1988
资本充足率 ≥ 8%
II · 2004
三大支柱：最低资本·监管检查·市场约束
III · 2010+
提高资本质量；LCR·NSFR·杠杆率
FRTB
内部模型核心：97.5% ES 替代 VaR
中国 2024.1 施行《商业银行资本管理办法》本土化落地——直接影响中资银行 ROE、资本补充与分红能力。
案例 2.5巴林银行 1995 + 投资者适当性
VaR 度量不了操作风险与未授权交易
里森在“88888”账户累积未授权日经期货头寸，亏损约 14 亿美元，击垮 233 年老店。
三大病灶：前后台职责未分离、模型采用申报头寸而非真实头寸、合规审计形式化。
→ 现代三道底线：前后台分离 · 独立风险部门 · 高层可直读风险报告。
投资者适当性
客户 C1–C5 ↔ 产品 R1–R5 匹配。
“卖者尽责”是义务，“卖者赔责”是违反义务的赔偿后果。
王翔诉建行案、康美 24.59 亿元集体诉讼为标志判例。
“卖者尽责”是义务，“卖者赔责”是违反义务的赔偿后果。
王翔诉建行案、康美 24.59 亿元集体诉讼为标志判例。
案例 2.62024 年初雪球敲入：反身性与流动性二阶冲击
风险有时不是外生冲击，而是市场内生反馈
雪球本质是客户卖出一份带障碍的看跌期权，券商需 Delta 对冲。指数接近敲入时 Delta/Gamma 快速变化，对冲交易短时集中放大冲击 → “下跌→对冲→流动性压力→更多产品触发”的反身性反馈链。
① 模型外信息
仅靠历史 σ 的 VaR 严重低估“集中敲入”型群体风险
② 内生反馈
ML 须纳入持仓、名义本金等高维特征且可解释
③ 制度调整
把单产品风险与市场拥挤交易一起考虑：集中度·杠杆·适当性
本章小结SUMMARY
不同指标，回答不同问题
赚了多少
HPR · 算术 / 几何平均 · 实际收益 · TWR/MWR
可能亏多少
σ · 下行风险 · 最大回撤 · VaR · ES/CVaR
是否值得
夏普 · Sortino · Treynor · 信息比率
分布常厚尾偏斜，正态只是近似；复利方向、杠杆、流动性、模型假设与适当性，把统计风险转化为现实损失。
本章关键概念KEY CONCEPTS
复习清单
持有期收益率 HPR
连续复利 / 对数收益
内部收益率 IRR
TWR / MWR
算术 / 几何平均
名义与实际收益
反向复利
方差 / 标准差
协方差 / 相关系数
下行风险
贝塔系数
在险价值 VaR
预期短缺 ES
最大回撤
夏普 / Sortino 比率
偏度 / 峰度
尖峰肥尾
风险厌恶 / 效用函数
凯利公式
投资者适当性
巴塞尔 III · FRTB
风险度量可问责
本章习题 · 一、单选题含参考答案
概念辨析
3. 贝塔系数 β 主要反映（ ）。
A. 单一资产独立波动性 B. 组合总波动性
C. 资产相对市场的系统性风险暴露 ✓ D. 风险调整后超额收益
C. 资产相对市场的系统性风险暴露 ✓ D. 风险调整后超额收益
7. ES（CVaR/ETL）相对 VaR 的优势是（ ）。
A. 满足次可加性，更接近一致风险度量 ✓
B. 总小于 VaR C. 不需分布假设 D. 仅适用正态
B. 总小于 VaR C. 不需分布假设 D. 仅适用正态
11. 现实股票收益“尖峰肥尾”，意味着相对正态（ ）。
A. 极端事件更稀有 B. 中间常见、尾部更厚 ✓ C. 无区别 D. 完全对称
12. FRTB 框架下市场风险核心度量已从 VaR 转向（ ）。
A. 标准差 B. 最大回撤 C. 预期短缺 ES/ETL ✓ D. Calmar 比率
解析：β 由 \(\mathrm{Cov}(r_i,r_m)/\sigma_m^2\) 定义，仅刻画系统性风险；ES 满足次可加性并刻画尾部平均损失，故 FRTB 以 97.5% ES 替代 VaR。
本章习题 · 三、计算题含解答
平均收益、波动与夏普
题：某基金 5 年收益 8%、−12%、15%、22%、−5%。\(r_f=2.5\%\)。求算术/几何平均、样本标准差与夏普比率。
平均收益
\(\bar r_{AM}=\tfrac{8-12+15+22-5}{5}=5.6\%\)
\(\bar r_{GM}=(1.08\cdot0.88\cdot1.15\cdot1.22\cdot0.95)^{1/5}-1\)
\(\approx 4.9\%\)
\(\bar r_{GM}=(1.08\cdot0.88\cdot1.15\cdot1.22\cdot0.95)^{1/5}-1\)
\(\approx 4.9\%\)
样本标准差
围绕 5.6% 偏差平方和 /(n−1)
\(\sigma\approx 13.9\%\)
\(\sigma\approx 13.9\%\)
夏普比率
\(\mathrm{SR}=\tfrac{5.6\%-2.5\%}{13.9\%}\)
≈ 0.22
≈ 0.22
几何<算术源于波动拖累；负偏厚尾策略还需 Sortino、最大回撤、CVaR 综合判断。
本章习题 · 四、案例分析 & 五、延伸阅读
课后作业与拓展
案例分析（任选其一）
2A 负债 10 万与存款 10 万：反向复利、现金流约束与选择权
2B LTCM 危机与 ES 监管口径：模型、危机、立法的反馈链
2C 雪球敲入与监管硬约束：VaR/ES、适当性、机器学习预测
延伸阅读（精选）
Markowitz (1952) Portfolio Selection
Artzner et al. (1999) Coherent Measures of Risk
Jorion (2007) Value at Risk
BCBS (2019) FRTB；《商业银行资本管理办法》(2024)
Gu, Kelly & Xiu (2020) Empirical Asset Pricing via ML
2核心公式与推导
本章核心公式与推导（一）
收益以期望值刻画、风险以方差/标准差度量；分散化利用资产间不完全相关，在不牺牲期望收益的前提下降低组合风险。
\[ r_{\mathrm{real}} = \frac{1 + r_{\mathrm{nom}}}{1 + \pi} - 1 \approx r_{\mathrm{nom}} - \pi \]
\[ R = \frac{P_T - P_0}{P_0} \times 100\% \]
\[ P_T=P_0(1+r_sT) \]
\[ P_T=P_0(1+r)^T \]
\[ r_{\mathrm{ann}} = \left(\frac{P_T}{P_0} \right)^{\frac{1}{n}} - 1 \]
\[ P_T=P_0 e^{r_cT}, \quad r_c=\frac{1}{T}\ln\frac{P_T}{P_0} \]
2公式推导说明（一）
收益口径：从单期收益到长期复利
收益口径：先问分母和现金流
HPR 把价格变化与现金分配放在同一分母；IRR 处理多期现金流；TWR 排除申赎时点影响。口径不同，回答的问题不同。
年化与复利：同一收益必须带期限